Cómo transformar una cruz de Boy en una superficie de Boy (derecha o izquierda, a elección) pasando por la superficie romana de Steiner.
14 de septiembre de 2003
página 4
Ahora se presenta el modelo desde otro ángulo:
Plancha 14: Se repite la misma operación creando la tercera "oreja" de la curva de autointersección. En versión poliédrica, esta tiene la forma de tres cuadrados que comparten un vértice común: el punto triple T.
Plancha 15: Al girar el objeto, se reconoce la versión poliédrica de la superficie de Boy que yo mismo había diseñado y presentado en el Topologicon (donde se encuentra un corte que permite construirla).
Última plancha: he intentado representar la superficie de Steiner (de cuarto grado, mientras que la de Boy es de sexto grado) mientras se contorsiona y se transforma en superficie de Boy.
Se observa que, en "redondeado", se necesita una gran familiaridad para comprender el objeto. Nuestro ojo se siente muy incómodo cuando debe interpretar un objeto en el que, sobre una misma línea de visión, se superponen más de dos hojas. Por eso el interés del modelo poliédrico, que pone al alcance de cualquier persona transformaciones consideradas sofisticadas en geometría, siempre que las personas se esfuercen en construir los modelos ellos mismos. Por el camino, se observa que según las parejas de puntos cuspídeos elegidos, se obtiene una superficie de Boy "derecha" o "izquierda" (palabras totalmente arbitrarias). El plano proyectivo se inmersa según dos representaciones "enantiomorfas", en espejo. Se ve que se puede pasar de una Boy derecha a una Boy izquierda a través de un modelo "central", que es la superficie romana de Steiner.
Sería sin duda agradable que dibujos como estos se publicaran en Pour la Science o La Recherche. Pero durante veinte años he estado "prohibido de publicación" en estas revistas por motivos de deviaciónismo ovni. Gracias, señores Hervé This y Philippe Boulanger. Ya no cuento los artículos de este tipo que he enviado a estas revistas y que me han sido devueltos con cortesía. Al final uno se acostumbra a su estatus de excomulgado.
Como anécdota, en Francia existe un "Premio Alembert" destinado a recompensar a autores de libros de divulgación matemática. La historia me fue contada por un miembro de la comisión encargada de decidir a quién correspondía el premio (hay cierto dinero en juego). Diálogo:
—Pero, ¿no podríamos otorgar el premio a Petit? Ha escrito obras notables como el Géométricon, el Trou Noir y el Topologicon.
—Sí, pero no solo hizo esos álbumes.
—¿A qué se refiere?
—También escribió el Mur du Silence.
—Ah, en ese caso...
Sí, el Mur du Silence, publicado en 1983, es un álbum dedicado a la MHD. Y, como todos saben, esta ciencia sulfurosa tiene la virtud, o la malicia, de permitir que las naves voladoras alcancen velocidades supersónicas sin producir estruendo.
Ocultad esta ciencia, que yo no la veré.
Tengo en mis archivos una versión del "giro del cubo" espectacular, con un modelo central de una belleza absoluta, que no es la versión poliédrica de la variante de Morin. Todo de mi invención. Algún día...
22 de octubre de 2003
: No hay mucha gente en estas páginas, según el contador. El lunes 13 de octubre de 2003 di una conferencia en el CMI (Centro de Matemáticas e Informática de Château-Gombert-Marsella) invitado por Trotman. En esa ocasión pude alinear una colección de unos treinta modelos de cartón, que tendrán pronto su primera presentación, ya que fueron fotografiados por Christophe Tardy.
Cuando se da una conferencia, se genera una atmósfera. En la siguiente foto, un geómetra expresa su perplejidad.
En el fondo, parte de los modelos expuestos. En un momento, hice la pregunta:
—¿Quiénes ya han visto una superficie romana de Steiner? Levanten la mano.
Nadie la había visto nunca. Por eso juzgué conveniente presentar el objeto, en realidad virtual, en el portátil que había traído, un objeto realizado con la colaboración de Christophe Tardy, ingeniero, y de Frédéric Descamp, del Instituto Laue Langevin de Grenoble (ILL). Claramente, esta presentación desconcertó al público, poco acostumbrado a ver superficies matemáticas girar a voluntad.
Dos paneles de cartón, visibles al frente, permitieron presentar la secuencia de modelos en orden lógico. Los modelos "verde y amarillo" ilustran, en versión poliédrica, la herramienta esencial para la creación y destrucción de una pareja de puntos cuspídeos. El objeto blanco más alejado es una versión poliédrica de la Cross Cap, que primero se transforma en versión poliédrica de la superficie romana de Steiner, un metro más adelante, y luego, a voluntad, en superficie de Boy "derecha" o "izquierda".
El análisis de los modelos suscita diversas observaciones en el público. Un geómetra pregunta:
—Si, siguiendo los modelos en este sentido, se puede pasar de la Cross Cap a la Boy, parece que al hacerlo al revés se podría transformar una Boy en Cross Cap.
Respondo afirmativamente. Animado, mi interlocutor añade:
—Si, al llegar al estado de la superficie romana de Steiner, se detiene, entonces se puede reemprender hacia una Boy en espejo.
Aprobo por segunda vez. Pero desafortunadamente nadie se ofrecerá a aclarar este mundo extraño donde se dotan inmersiones de superficies cerradas de puntos cuspídeos, creados o anulados por pares, todo ello constituyendo una especie de extensión del mundo de las inmersiones. La palabra "submersiones" me parecería adecuada. Si algún lector encuentra aclaraciones, serán bienvenidas.
Curvatura concentrada en un punto cuspídeo
Se calculará sumando los ángulos en el vértice y comparando esta suma con la suma euclidiana: 2π.
En la parte superior izquierda se representa una de las múltiples representaciones poliédricas del punto cuspídeo. El "desmontaje" del objeto (a la derecha) conduce a una suma que excede la suma euclidiana 2π en una cantidad 2α. Se deduce entonces que la curvatura angular concentrada alrededor de este punto C es -2α. Si el ángulo α es igual a π/2, entonces la curvatura negativa vale -π (figura en la parte inferior izquierda). En realidad, la curvatura concentrada en un punto cuspídeo puede tomar infinitos valores. En la parte inferior derecha se aumenta la suma angular y la curvatura debe entonces ser < -2α. Se intensifica la curvatura negativa.
Operando de manera inversa se puede llegar a una situación bastante sorprendente: lograr que la curvatura (angular) concentrada en C sea... nula:
Ahora se puede partir de una representación poliédrica de la Crosscap con dos puntos cuspídeos, cada uno correspondiente a una curvatura negativa igual a -π:
Hay ocho "posicoins" correspondientes a un valor +π/2. Añadamos otros cuatro "posicoins" de curvatura +π/4 y cuatro "negacoins" de curvatura -π/4. Más los dos puntos cuspídeos de curvatura -π.
Total: 2π.
Al dividir esta curvatura total entre 2π se recupera la característica de Euler-Poincaré de todas las representaciones del plano proyectivo (como la superficie de Boy).
Durante mi conferencia mencioné el arte y la manera de intercambiar los dos puntos cuspídeos de una Cross Cap, utilizando el giro de la esfera. No recuerdo si lo he incluido en alguna parte de mi sitio. Es un tal desorden. Tendré que buscarlo, de lo contrario lo pondré en alguna parte. Es bastante divertido. To...