El modelo central del giro de la esfera
31 dic 2001
Todos habéis visto girar, sin parar, un objeto extraño en la parte izquierda de la página de inicio del sitio. ¿De qué se trata?
Un día, cuando tenga tiempo, instalaré en el sitio una descripción del giro de la esfera, tal como lo había ilustrado en el número de enero de 1979 de Pour la science, es decir, hace ... 22 años. Todo esto requeriría evidentemente muchos detalles e introducción. ¿Girar una esfera, qué significa eso? Una esfera no tiene el mismo significado para un hombre de la calle y para un matemático-geómetra. Para el hombre de la calle, ésta se define como el lugar de los puntos situados a una distancia R de un punto fijo O de ésta, en un espacio de tres dimensiones. Un geómetra seguirá llamando "esfera" a un objeto que correspondería a una "esfera deformada", una especie de "patata". Para comprender mejor estos conceptos, adquiera el CD Lanturlu que contiene la viñeta "Le Topologicon". Pero el matemático va aún más lejos. Cuando una superficie se dice "regular", se puede definir en cada uno de sus puntos un plano tangente. Esto ya permite imaginar una infinidad de deformaciones de la "esfera de partida" en una infinidad de patatas, cuando además el área de dicha superficie puede ser cualquiera. Esto dicho, en un "universo físico" la persona que deforma esta esfera se encontraría con la imposibilidad de hacerla atravesarse a sí misma. Si estos atravesamientos o incluso estos contactos están prohibidos, se hablará entonces de
inmersiones de la esfera S2
. Pero un matemático se da todos los derechos. Una esfera es, para él, un objeto "virtual" donde los atravesamientos de capas se vuelven posibles. La serie de dibujos que sigue muestra una esfera que se ha "autoatravesado". Se llama entonces a esta representación de la esfera una
inmersión
.
Una inmersión posee un
conjunto de auto-intersección
o de
self-intersection
(aquí una simple curva circular). El plano tangente debe variar continuamente. Esto dicho, cuando se miran los dibujos anteriores, se ve que la operación gira bien una parte (representada por el color verde) del interior de la esfera hacia el exterior. Para completar tal giro, habría que aplastar este tipo de boudin ecuatorial. La cosa parece a priori problemática. Este aplastamiento rompería la continuidad del plano tangente. La operación incluiría entonces una etapa
que no sería una inmersión
.
Un día, un matemático americano, Stephen Smale, demostró que "la esfera S2 no posee más que una sola clase de inmersión". El corolario de esta frase enigmática era que se debía poder enlazar una secuencia de inmersiones de la esfera permitiendo pasar de la "esfera estándar" a su representación "antipodal", es decir, donde todos los puntos hubieran sido reemplazados por sus antípodas. En resumen ... una esfera girada, derecho-contrarecho. Raoul Bott era el jefe de Smale. Tanto la demostración de este último, puramente formal, parecía impecable, como nadie veía cómo abordar la operación. Bott repetía constantemente a Smale "muéstrame cómo te imaginarías proceder", a lo que Smale, con su famoso pelo en la lengua, respondía "no tengo la más mínima idea". Smale recibió posteriormente la medalla Field, equivalente al Premio Nobel, pero para las matemáticas. En paso, te preguntarás quizás por qué Nobel nunca quiso crear un Premio Nobel de matemáticas. La respuesta es sencilla: su mujer se fue con un matemático.
Las cosas permanecieron así durante bastante tiempo hasta que un matemático americano llamado Anthony Phillips publicó en 1967 en Scientific American una primera versión de este giro, atrozmente complicada. La segunda fue inventada a principios de los años sesenta por el matemático francés (ciego) Bernard Morin. Yo fui el primero en dibujar esta secuencia de transformaciones que, ya he dicho, será el objeto de un próximo artículo en el sitio, bastante extenso por cierto. Sea como sea, esto nos lleva a una conclusión adicional. Las superficies pueden ser objeto de
representaciones poliédricas . Un cubo o un tetraedro pueden ser considerados como representaciones poliédricas de la esfera, en la medida en que estos objetos tienen la misma
topología
. En este punto, consulta mi cómic Le Topologicon. Además, se entenderá que si es posible girar una esfera, también es posible girar un cubo. La transformación inventada por Bernard Morin (que ilustro en el artículo de enero de 1979 de Pour la science) pasa por un
modelo central
. Existe una simetría en esta secuencia. Se llama "el modelo central de cuatro orejas". Allí también, anticipe. Pero al igual que la esfera puede prestar a representaciones poliédricas, lo mismo ocurre con las etapas sucesivas de estas transformaciones. El objeto que ves girar en mi página de inicio es así la versión poliédrica del modelo central del giro de la esfera, un modelo que inventé hace una década. La ventaja de estos modelos poliédricos es que se pueden construir con superficies planas. Incluso se pueden organizar según cortes. Echa un vistazo al dibujo siguiente (gracias a paso a mi amigo Christophe Tardy, quien produjo los elementos correctamente cotizados).
Este es un dibujo que saldría en su impresora en tamaño pequeño, inutilizable.
Para imprimir esta figura en una hoja A4
Entonces, hay que hacer cuatro copias en papel fuerte A4, dos hojas de un color, dos hojas de otro
Es un corte del que aquí tienes una vista general. Pero para imprimirlo, es preferible que pases a la página
corte
. Imprímela. Luego, con este ejemplar impreso en el papel normal de su impresora, vaya a una fotocopiadora y realice cuatro copias idénticas de este dibujo,
dos en dos hojas de cartulina verde
y dos en hojas amarillas. Usted podrá, con este corte, construir el modelo central del giro del cubo.
Tiene, en estos elementos cortados, pares de letras: a, b, c, d, e, f ... etc. Solo tiene que realizar los dobleces llevando las mismas letras en coincidencia, luego unir estas caras con cinta adhesiva transparente. Los dibujos que siguen muestran la forma de montar uno de los cuatro elementos. Aquí está primero cómo se debe comenzar el doblado de uno de los cuatro elementos:
Aquí hay dos de estos cuatro elementos, vistos desde ángulos diferentes.
Luego se ensamblan para dar un objeto con una simetría de orden cuatro o alternando elementos verdes y amarillos. Para ver esto en 3D, eche un vistazo a las realizaciones del Sr. Tardy, en "realidad virtual". El modelo central totalmente ensamblado también se produce en "vrml" en esta sección. Aquí está este objeto, visto desde diferentes ángulos:
No se puede decir que una vista corresponda al "arriba" y la otra al "abajo" ya que estas denominaciones serían totalmente arbitrarias. En la vista de la izquierda, el punto "central" corresponde al "punto doble" (donde dos capas se cruzan) del modelo central de Morin, mientras que el punto central de la derecha equivale al "punto cuádruple" de este mismo modelo (donde cuatro capas se cruzan). Tuve que orientar cuidadosamente el objeto, para que la figura de la izquierda no evocara una cruz gamada. De lo contrario, en términos arquitectónicos, esta representación poliédrica del modelo central de Morin podría haber constituido un muy buen proyecto de casa de la Cultura Nacional Socialista.
Última vista:
Una última observación: no existe una buena representación poliédrica del giro de la esfera (también llamado giro del cubo). Por "buena" se entiende una serie de modelos suficientemente explícitos que pueden montarse en forma de cortes de manera relativamente sencilla, como el modelo anterior. Una investigación sería necesaria en este sentido, que está al alcance de cualquiera, incluso de un no matemático, un artista plástico, por ejemplo. Hace más de veinte años fui profesor de escultura en la Escuela de Bellas Artes de Aix-en-Provence, en el momento en que aún era dirigida por mi excelente amigo Jacques Boullier. Fue en estas instalaciones donde nació la primera representación meridional de la superficie de Boy utilizando elipses, clave para la construcción de la primera ecuación implícita por Apéry. Debo decir que en aquella época siempre me sorprendió la imaginación geométrica de los estudiantes de arte, que superaba con frecuencia la de ... los geómetras.
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