El giro de la esfera
8
diciembre
2004
página 4
La versión de Bernard Morin
Para descargar la versión pdf del artículo de B. Morin y J.P. Petit, publicado en Pour la Science en 1979
El giro de la esfera
( 2,8 MB )
Partimos de una esfera que presenta su cara gris hacia el exterior y su cara rosa hacia el interior.
En
b
et
c
acercamos sus polos. Luego las capas se penetran mutuamente según una "catastrófica doblez". Se crea una curva cerrada de autointersección.
En la parte inferior derecha, tres semicortes permiten comprender mejor la configuración obtenida. En este momento, la esfera se parece a un tipo de "bote inflable" circular, con un "tubo" y un "suelo" de doble pared.
Primera etapa: una "catastrófica doblez". Creación de una curva cerrada de autointersección
Segunda operación: nueva "catastrófica doblez", creación de una segunda curva cerrada.
Segunda creación de una curva cerrada de autointersección.
Para ello, el "bote inflable" se ha doblado, con un movimiento de torsión, lo que permitió acercar dos partes del "tubo", diametralmente opuestas, en contacto.
La siguiente imagen es el resultado de dos catástrofes que llevan a la creación de "rebanadas de naranja".
Después de la creación de dos "rebanadas de naranja"
A la izquierda se han realizado cortes en el modelo. En el centro se muestra cómo los dos cilindros cuya sección, localmente, afecta la forma de la letra griega "gamma", se han penetrado mutuamente. Recordemos que la catástrofe de creación de "rebanadas de naranja" se realizaba cortando un "tronco" con dos planos que formaban un diedro.
Cada una de las estructuras cilíndricas cuya sección es en "gamma" posee tanto la sección redondeada como el diedro. Mire con atención la figura
i
. En
j
he dibujado el conjunto de autointersección. La porción de curva cerrada más grande proviene de la primera "catastrófica doblez" que transformó la esfera en "bote inflable". Tras la creación de las dos rebanadas de naranja se obtiene un conjunto más complejo del que
j
es un subconjunto. En
j
se observa que esta estructura puede compararse con la unión de dos "rebanadas de naranja" sobre dos aristas de un tetraedro, no adyacentes.
Todo esto será un día mucho más fácil de comprender cuando pueda producir animaciones. No tengo ningún problema técnico a priori. Es simplemente cuestión de tiempo. Pocas personas pueden no solo ver en el espacio, es decir, leer este código que utiliza líneas, puntos, colores, sombras y reflejos, sino también encadenar mentalmente transformaciones imaginando el movimiento sugerido. Espero tener algún día el tiempo para hacer todas estas cosas. Observemos al pasar que se podrían utilizar modelos poliédricos, como hice para mostrar cómo se puede transformar una Crosscap en una Superficie de Boy. Ahí está el futuro. Pero estos modelos hay que inventarlos. Más adelante se encontrará la versión poliédrica optimizada del modelo central de esta transformación imaginada por Bernard Morin (recordemos que es ciego), junto con la forma de construirlo uno mismo a partir de un corte.
¿Por qué no he llevado estas ideas más lejos? Diría: por falta de "salidas". No hay revistas de matemáticas que acepten publicar trabajos de este tipo. Pudimos hacerlo entre 1975 y 1978 mediante algunas notas en los Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de París, que probablemente no fueron leídas por mucha gente. Pero fue porque el académico André Lichnérowicz se interesaba personalmente por estos trabajos. Hoy ha fallecido. Como estos trabajos ya estaban completamente concluidos desde 1975, habría sido deseable producir una animación a partir de mis dibujos. Habiendo trabajado en animación, estaba completamente capacitado para coordinar una empresa así. Pero fue imposible encontrar financiación en el CNRS, y finalmente fue el matemático estadounidense Nelson Max, inspirándose en maquetas construidas por su colega Charles Pugh (de esta misma versión del giro de la esfera), y utilizando una potente computadora, quien logró producir la primera animación. Pero no es ni la primera ni la última vez que franceses, sin recibir eco alguno de sus esfuerzos, son superados por colegas extranjeros mejor organizados y mejor apoyados.
Pasemos ahora a la tercera fase, la más difícil de comprender.
Preparación de dos catástrofes "del pantalón"
En la figura
k
se distinguen claramente los dos extremos de las "piernas del pantalón", cuyo detalle aparece en primer plano en
k
'. La flecha blanca indica el paso "por entre las piernas". Esta transformación es verdaderamente difícil de comprender. He añadido el dibujo
m
para tratar de explicarme mejor. En
l
he representado con líneas punteadas la curva de autointersección, que aparece en su conjunto en
l
'. Un paso (el que sigue la flecha blanca) se cerrará. Este movimiento de cierre va acompañado del ascenso de una parte de la curva de intersección, en dos puntos. Estos extremos de curva llegarán al contacto, cada uno sobre una de las líneas pertenecientes a las "rebanadas de naranja". Cuando se produzca el contacto, se realizará la cirugía. La dificultad radica en que, tras haber visto las cuatro catástrofes elementales en la página anterior, hay que ser capaz de trasladarlas desde todos los ángulos, girando los cuellos si es necesario. En
n
se ha representado el momento crítico en que se produce la cirugía (la "situación media" de la transformación) y en que se modifica el modo de unión de los extremos de la curva. Sabemos que esta catástrofe "del pantalón" cierra un paso y abre otro. El paso inicial está indicado por la flecha blanca. Pero existe otro que se vería desde el mismo ángulo si se girara el modelo 180° sobre sí mismo alrededor de un eje vertical. Estas flechas forman una sola. Antes de que se produzcan estas catástrofes aún es posible circular por este "bote inflable doblado". Cuando estas catástrofes hayan hecho efecto, este paso ya no será posible. Por el contrario, se habrán creado dos nuevos pasos. Pero ¿dónde? ¿Qué partes del espacio están implicadas? Estos pasos pondrán en comunicación el interior de las rebanadas de naranja con el exterior. En
l
', estas rebanadas de naranja las ves. Pasemos a la siguiente etapa.
Cierre del paso. Hacia una doble situación crítica
En
o
se han representado las dos catástrofes "del pantalón" en dos momentos diferentes.
Uno de los pasos está completamente cerrado. Estamos en situación crítica, justo antes de que los arcos de curva cambien su modo de unión. A la derecha (detalle en la figura
o
') el paso está solo en proceso de cerrarse. Así, la apariencia de la curva de autointersección
o
" es diferente a la derecha y a la izquierda. En las figuras
p
,
p
' y
p
" se alcanza la criticidad (la situación "media" de la transformación) desde ambos lados. En la lámina siguiente, las cirugías han hecho efecto. Los tubos que se veían comenzar en la figura
p
", que ponen en comunicación las "rebanadas de naranja" con el exterior, ya están formados:
Las dos "catástrofes del pantalón" han hecho efecto. Los pasos (flechas blancas) están abiertos.
Ahora las cosas continuarán...