El Retorcimiento del Toro
9 de diciembre de 2004
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Una consecuencia de estos trabajos: el retorcimiento trivial del toro
Si resultó tan complicado dar la vuelta a una esfera, por el contrario, partiendo de allí, es extremadamente fácil dar la vuelta a un toro. De hecho, se podría decir que está al alcance de un niño de diez años. Después de todo, un toro no es más que una esfera con un asa. Se procede de la misma manera que para intercambiar los dos puntos cuspídeos de una Crosscap, es decir, se da la vuelta a la esfera sin hacerse preguntas. La asa queda entonces en el interior. Digamos que este "puente" se transforma en "túnel subterráneo". Ahora bien, todos los ingenieros de obras públicas saben que cualquier túnel subterráneo en una red vial puede transformarse en un punto mediante una homotopía regular.
Cuando la esfera está dada la vuelta, basta entonces con deslizar un dedo por este túnel y tirar con fuerza. Ver los dibujos siguientes.
El retorcimiento trivial del toro
Aunque en este dibujo se ve bastante mal, hemos representado en a uno de los círculos generadores del toro, que forman una de las dos familias de círculos que permiten cartografiar el toro sin crear singularidades en la malla (ver el Topologicon). Cuando la asa se ha concentrado en una región de la esfera con asa b, la curva sigue siendo visible. Cuando la esfera con asa ha sido dada la vuelta, en c, y el operador desliza su dedo por el túnel, esta curva rodea su dedo. Cuando "extrae" la asa, en d, se observa (imagen final e, la del toro retorcido) que este círculo se ha convertido en el círculo de garganta de la superficie. Así, cuando se parte de un toro cartografiado mediante una red doble de círculos meridianos y círculos paralelos (el círculo de garganta perteneciente a esta segunda familia), se ve que la operación de retorcimiento intercambia estas dos familias. Tiene algo de mágico, y debo admitir que esto trasciende mi comprensión personal. Cada uno debe aprender a conocer sus límites. Personalmente, creo que en ciertos procesos mentales el cerebro debería estar equipado con un fusible.
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