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Geodésicas.
...En lo que sigue, tratamos superficies de 2 dimensiones. Por cierto, ¿por qué una superficie es un objeto de 2 dimensiones? Porque se necesitan dos parámetros para localizar un punto sobre ella. Ejemplo: longitud y latitud en la Tierra.
...Estas son cosas que comprenderás mejor con tus manos que con tu cabeza. Intenta encontrar algunos objetos antes de comenzar a leer este texto. Necesitarás:
- Papel, tanto rígido como flexible.
- Cinta adhesiva colorida.
- Tijeras
...A partir de ahora, con este tipo de cinta adhesiva colorida, puedes realizar cintas de ancho constante.
(6)
...Toma cualquier superficie, por ejemplo la carrocería de tu coche. Puedes pegar tu cinta adhesiva sobre ella, evitando cuidadosamente los pliegues. Entonces obtienes geodésicas de esta superficie. Existen infinitas geodésicas en la carrocería de tu coche.
Puedes hacerlo en una placa plana. Entonces obtienes las "rectas de tu plano".
Las "rectas" son simplemente geodésicas particulares, las del plano.
(7)
Con tres geodésicas formas un triángulo en esta "superficie euclidiana". La suma de los tres ángulos es entonces de 180°.
Posiconos.
...Ahora, construyamos un "posicono", un tipo de "cono positivo". Simplemente toma un trozo de papel, una superficie plana, y corta un sector con tus tijeras. Luego, pega las líneas SA y SB juntas, como se indica en la figura siguiente.
(8)
...Ahora, con nuestra cinta adhesiva, tracemos tres líneas geodésicas sobre esta superficie, como se muestra en la figura (9). Podemos medir la suma de los tres ángulos y encontramos dos casos:
Si el triángulo no contiene el vértice S de este posicono, la suma sigue siendo de 180°.
Si el triángulo contiene el vértice, sin importar su tamaño, pequeño o grande, la suma es: 180° + q .
(9)
Para comprender mejor, puedes cortar tu posicono y colocarlo plano. Entonces, el ángulo q se muestra claramente.
(10)
...Puedes verificar fácilmente que las dos rectas AH y por lo tanto podemos verificar fácilmente que las rectas SH y SH' forman un ángulo igual a q .
...Un cono es una superficie que se puede colocar plana después de cortar a lo largo de una línea que pasa por el vértice. En francés, decimos que se trata de una superficie "desarrollable", pero no encuentro la palabra en inglés en mi diccionario. Lo mismo ocurre con un cilindro.
(11)
...Puedes trazar líneas geodésicas en un cilindro, con tu cinta adhesiva. Pero, después de realizar tu corte y colocar el cilindro plano, tus líneas geodésicas se convierten en... rectas.
También puedes rodar estas superficies (cono, cilindro) sobre un plano. Siguiente figura.
(12)
...Puedes trazar una geodésica en un cono o en un cilindro con tinta, y luego rodarlo sobre un plano, usando como matriz de impresión. Entonces, en tu plano, obtendrás rectas.
...Inversamente, si trazas rectas en tu plano y ruedas el cono o el cilindro sobre él, antes de que la tinta se seque, imprimes geodésicas sobre él.
Versión original (inglés)
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Geodesics.
...In the following we deal with 2d-surfaces. By the way, why is a surface a 2d object ? Because you need two parameters to localize a point on it. Example : longitude and latitude on the Earth.
...They are things that you will better understand with yours hands than with your head. Try to find some things before starting to read this text. You need :
- Paper, both firm and flexible.
- Coloured sticky tape.
- Scissors
...Hereafter with this kind of coloured sticky tape you can make constant width strips.
(6)
...Take any surface, for example the coachwork of your car. You can glue your sticky tape strip onto it, carefully avoiding creases. Then you get geodesics of this surface. They are an infinity of it on the coachwork of your car.
You can do it on a flat plate. The you get "straight lines of your plane".
"Straight lines" are just peculiar geodesics, those on the plane.
(7)
With three geodesics you make a triangle on this "euclidean surface". Then the sum of the three angles is 180°.
Posicones.
...Now, let us build a "posicone", some sort of a "positive cone". Just take a piece of paper, a flat surface, and cut a sector with your scissors. Then put the lines SA and SB together, as indicated on next figure.
(8)
...Now, with our sticky tape, we draw three geodesic lines on that surface, as shown on figure (9). We can measure the sum of the three angles and we find two cases :
If the triangle does not contain the summit S of this posicone, the sum is still 180°.
If it contains the summit, whatever it is arranged around it, small or large, the sum is : 180° + q .
(9)
To understand, you can cut your posicone and put it flat. Then your q angle appears clearly.
(10)
...You can easily check that the two straight lines AH and we can therefore verify easily the straight lines SH and SH' form and angle equal to q .
... A cone is a surface that can be put flat, after you cut along a line containing the summit. In french we say that it is a "développable" surface, but I don't find the english word in my dictionary. Same thing for a cylinder.
(11)
...You can draw geodesic lines on a cylinder, with your sticky tape strip. But, after you manage your cut, and put your cylinder flat, your geodesic lines become... straight lines.
You can also roll such surfaces ( cone, cylinder ) on a plane. Next figure.
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...You can draw a geodesic on a cone or on a cylinder with ink, and then roll it on a plane, using it as a printing matrix. Then, on your plan, you will print straight lines.
...Conversely, if you draw straight lines on your plan and roll the cone or the cylinder on it, before the ink gets dry, you will print geodesics on it.