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**Imagen didáctica de un cuerpo celeste **(estrella, planeta, huevo denso)
** **Una estrella como el Sol es una concentración de masa. Alrededor: el vacío, o una porción de espacio que es "casi vacío", ya que contiene un gas muy enrarecido y fotones. En 2D, la imagen didáctica correspondiente es un cono obtuso (posi):
(18)
Puedes hacerlo con dos componentes. Una porción de esfera y una porción de cono (posi), pegadas juntas. La porción de esfera es una superficie de densidad de curvatura constante. La porción del cono es una superficie plana, una superficie de curvatura local nula. Este último ejemplo es una superficie euclidiana. La porción de esfera es una superficie no euclidiana (una superficie riemanniana).
Esta es la imagen didáctica en 2D de un objeto de densidad constante, rodeado de vacío.
¿Cómo fijar los dos elementos juntos para garantizar la continuidad del plano tangente? Es sencillo. Tu porción de cono proviene de un cono cuya sección correspondía a un ángulo q. Tu porción de esfera se supone que está construida con mini-conos (posi) elementales, de forma que contenga cierta "cantidad de curvatura angular" q. Si los dos ángulos son iguales, el plano tangente será continuo.
Pero ¿cómo medir la cantidad de curvatura contenida en una porción dada de una esfera?
Curvatura total.
Podemos construir una superficie uniendo posicones elementales. Podemos organizarla para obtener una superficie de densidad de curvatura constante. Entonces sabemos que la superficie es una porción de esfera. Si añadimos más y más conos (posi) elementales, la esfera se hará completa. Contiene cierta cantidad de curvatura angular. Todas las esferas contienen la misma cantidad. La curvatura angular total de una pelota de ping-pong y la curvatura angular total de la Tierra son iguales, aunque tengan pesos muy diferentes.
Por cierto, la curvatura total de un huevo es la misma, ya que tienen la misma topología. En principio, las gallinas ponen huevos con topología esférica. Personalmente, nunca he visto un huevo con topología toroidal. Eso correspondería a una serpiente extraña, sin cabeza ni cola, o algo así.
Volvamos a las pelotas de ping-pong, a las esferas normales. Si esta superficie tiene una densidad angular local constante, significa que la cantidad de curvatura angular (la suma de los ángulos elementales Dq) será proporcional al área. Véase figura 19. Esta superficie puede estar limitada por cualquier tipo de borde. Pero podemos usar las geodésicas de la esfera. Llamemos S al área de la esfera y s al área gris, dentro del triángulo.
(19)
Arriba vimos que la desviación (positiva) respecto a la suma euclidiana (180°), para un triángulo trazado sobre una superficie, depende del número de vértices de cono situados dentro. La suma era de 180° más todos los ángulos correspondientes a esos vértices encerrados.
Recíprocamente, si mido la desviación respecto a la suma euclidiana, puedo medir la cantidad de curvatura contenida dentro del triángulo.
Una geodésica de una esfera se llama un círculo mayor de la esfera. Véase figura (20). Los meridianos, el ecuador, son círculos mayores de la esfera.
(20)
Podemos cortar nuestra esfera en ocho trozos de igual área. Véase figura (21). Obtenemos ocho triángulos cuyos ángulos valen todos 90°. La desviación respecto a la suma euclidiana es, por tanto, de 90°. Cada uno de estos triángulos contiene una curvatura angular igual a 90°. En conclusión, la curvatura total, la curvatura angular total de la esfera es 8 × 90° = 720° = 4π.
(21)
Cada triángulo gris contiene π/2.
¿Te gustan las superficies curvas, la geometría de las superficies riemannianas?
Si volvemos a nuestro cono obtuso, vemos que la curvatura angular está contenida dentro del borde circular, en la zona de densidad de curvatura constante. El costado, la pared del cono, no es una superficie limitada. Puedes extenderla hasta el infinito si lo deseas. La cantidad de curvatura angular no depende del perímetro del borde, ni del área de la porción de esfera. Esta última puede reducirse. Véase figura (22). Incluso reducida a un simple punto, contendría la misma cantidad de curvatura angular. Por eso decimos que un punto cónico es un punto de curvatura concentrada. Inversamente, podemos construir superficies suaves a partir de un conjunto de puntos cónicos.
La materia está hecha de átomos. Los átomos pueden considerarse como objetos puntuales. Son "puntos de curvatura concentrada" en el espacio tridimensional.
El aire que respiras es un medio de densidad constante. Está compuesto por moléculas, átomos. Es un conjunto de puntos de curvatura concentrada, unidos por porciones euclidianas del espacio. Lo asimilas a un medio de curvatura constante.
La próxima vez que respires, piénsalo.
(22)