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Negaconos.
Construyamos ahora lo que llamaremos un "negacono". Para construir un posicono, eliminamos un sector de un plano. Aquí, lo añadimos, correspondiente a un ángulo q:
(30)
En esta superficie podemos trazar líneas geodésicas, con nuestro cinta adhesiva, y formar un triángulo con tres de ellas. Si mides la suma de los ángulos, verás que es igual a 180° - q. Diremos que define una concentración de curvatura negativa.
Existen objetos con curvatura negativa en tu hogar. Algunos asientos, por ejemplo: (30 bis)
Si tomamos un disco, obtenemos la figura (31):
(31)
Por supuesto, si el triángulo formado por las tres geodésicas no contiene el vértice S, que contiene toda la curvatura angular (negativa), la suma será la de la geometría euclidiana: 180°.
La silla de montar.
** **Puedes construir un gran número de negaconos elementales
de ángulo - Dq y unirlos. Puedes hacerlo para obtener una distancia casi constante entre dos vértices vecinos. Obtendrías así una superficie con densidad de curvatura negativa constante: una silla de montar. Pero esta superficie nunca se cerrará.
En general, el geómetra la llama una superficie con curvatura negativa constante. (32)
"Negacono obtuso".
En una sección anterior, usando una superficie con densidad de curvatura positiva constante (una porción de esfera) y una porción de posicono, construimos un posicono obtuso.
De manera similar, podemos construir lo que llamaremos un negacono obtuso. Debe unirse una silla de montar a una porción de negacono, a lo largo de su borde circular común. Para garantizar la continuidad del plano tangente, la curvatura (negativa) contenida en la silla de montar debe ser igual a la curvatura negativa involucrada en la construcción del negacono.
Es relativamente fácil construir la porción de negacono requerida! (33)
Nota: Al igual que el posicono, el negacono puede servir como matriz de impresión. Pero es difícil ver cómo enrollar un negacono sobre un plano plano. Por lo tanto, es más sencillo enrollar el plano sobre una matriz con curvatura negativa.
Gutenberg inventó la técnica de impresión. Un diseño en relieve se talla en un plano. Luego se le aplica tinta y se presiona sobre un plano.
Posteriormente, la matriz de impresión se convirtió en un cilindro, para la impresión de periódicos (impresora rotativa).
Pero nadie, que yo sepa, ha utilizado la prensa cónica.
En cualquier caso, el punto importante es poner las dos superficies en contacto, sin importar el método. Ya sea que muevas la matriz, o que enrollas el papel (la superficie plana).
Como se muestra en la figura (34), puedes usar una matriz cónica para imprimir algo en un plano. Algunos periódicos cónicos, extendidos. (34)
No está definitivamente seguro que nadie lo utilice algún día. Supongamos que desees producir vestidos, con un diseño especial correspondiente a una simetría cónica. Supongamos que debas producir miles de ellos. Podrías grabar el patrón en una matriz cónica, y luego usarla para imprimir en el tejido. El cliente podría comprarlo y fabricar la "vestido cónico", asegurándose de que el patrón obtenido sea correcto en todas partes.
En la figura (35) se muestra lo que obtienes al imprimir con una matriz de curvatura negativa. A la derecha, un negacono extendido. (35)
En la figura (36) se muestra cómo unir la silla de montar a la porción de negacono.
Por cierto, podrías preguntarte:
- ¿Cómo puedo medir la curvatura angular negativa contenida en mi silla de montar?
En algunas partes de Texas, cerca de departamentos de matemáticas, cuando compras una silla de montar, la curvatura angular correspondiente se indica en el ticket adjunto. De lo contrario, al comparar el perímetro del borde, o el área, con el valor euclidiano calculado a partir del radio de este disco de curvatura negativa, puedes deducir la curvatura angular correspondiente. Considera esto como un ejercicio fructífero. (36)
(37)
Ahora podemos usar nuestra cinta adhesiva, trazar geodésicas y proyectarlas en un plano, como se muestra en la figura (38).
(38)
Como siempre, esta proyección plana se refiere a nuestro "mundo mental", la pared de la caverna de Platón. La apariencia de la geodésica proyectada significaría para nosotros que una fuerza repulsiva actúa sobre nuestros objetos de referencia, por ejemplo una fuerza gravitacional repulsiva. En realidad, todo esto debería derivarse de la geometría subyacente.
Versión original (inglés)
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**Negacones.
**
Let us build now what we will call a "negacone". To build a posicone, we removed a sector from a plane. Here we add one, corresponding to an angle q :
(30)
On this surface we can draw geodesic lines, with our sticky tape and make a triangle with three of them. If you measure the sum of the angles, you will see that it is 180°-q . We will say that it defines a negative curvature concentration.
There are objects with negative curvature in your home. Some seats, for example : (30 bis)
If we take a disk we get the figure (31) :
(31)
Of course, if the triangle composed by the three geodesics does not contain the summit S, which contains all the (negative) angular curvature, the sum will be the euclidean sum : 180°.
The horse saddle.
** **You can build a great number of elementary negacones
with angle - Dq and join them. You can do that in order to have an almost constant distance between two neighbour summits. Then you would build a constant negative curvature density surface : a horse saddle. But this surface will never get closed.
In general the geometer call it a *constant negative curvature surface.
*(32)
"Blunt negacone".
In a precedent section, using a constant positive curvature density surface (a portion of a sphere) and a portion of posicone we built a blunt posicone.
Similarly we can build what we will call a blunt negacone. We have to join a horse saddle to a portion of negacone, along their common circular border. In order to manage the continuity of the tangent plane the (negative) curvature contained in the horse saddle must be equal to the negative curvature involved in the negacone building.
It is relatively easy to build the required portion of a negacone !
(33)
NB : As the posicone, the negacone can be used as a printing matrix. But we can hardly see how to roll a negacone on a flat plane. It is therefore easier to roll the plane on a negative curvature matrix.
Gutemberg invented the printing technique. A design in relief is carved on a plane. Then one puts ink on it and presses it onto a plane.
Later the printing matrix was converted into a cylinder, for newspaper printing (rotative press).
But no one, as far as I know, used the conical press.
In all cases, the important point is to put the two surface into contact, whatever one does. Either you move the matrix, or you roll the paper (the plane surface).
As shown on figure (34) you can use a conical matrix to print something on a plane. Some conical newspaper, put flat.
(34)
It is not definitively sure that nobody will use that, someday. Suppose you want to produce robes, with a special design, corresponding to conical symmetry. Suppose that you have to produce thousands of robes like that. You could engrave the native design on a conical matric, then use it to print on the material,or the fabric. The customer could buy it and make the "conical" robe, being sure that the obtained patter would be good, all over.
On figure (35) is what you get if you print with a negative curvature matrix. On the right a negacone put flat.
(35)
On figure (36) it shows how to join the horse saddle to the portion of negacone.
By the way, you may ask :
- How can I measure the negative angular curvature contained in my horse saddle ?
In some places in Texas, close to mathematical departments, when you buy a horse saddle the corresponding angular curvature is indicated on the joined ticket. If not when you compare the perimeter of the border, or the area,to the euclidean value, calculated from the radius of this regative curvature disk, you can deduce the corresponding angular curvature. Consider this as a fruitfull exercise.
(36)
(37)
Now we can use ou sticky tape, draw geodesics and project it on a plane, as shown on figure (38).
(38)
As usual this plane projection refers to our "mental world", the wall of Plato's cavern. The aspect of the projected geodesic would mean for us that some repulsive force is acting on our reference objects, for example a *repulsive gravitational force *. In fact, all that should come from underlying geometry.