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Geometrías conjugadas.****
Ahora podemos asociar un posicono obtuso y un negacono obtuso. Cara a cara: una porción de esfera y una silla de montar, con curvatura angular opuesta + q y - q. Tenemos una correspondencia punto a punto (aplicación inyectiva). En la figura (39), se ha representado un par de puntos conjugados.
Llamamos geometrías conjugadas a dos estructuras geométricas relacionadas punto a punto, tales que las densidades locales de curvatura sean opuestas. Esto es el caso de la porción de esfera y la silla de montar correspondiente. Lo mismo ocurre para la porción de posicono, frente a una porción de negacono. Sus densidades locales de curvatura angular son nulas. (39)
La curvatura positiva, en el pliegue F, está completamente contenida en la porción de esfera. La porción de posicono es una superficie euclidiana, que es "localmente plana". En el otro pliegue F*, el pliegue conjugado, toda la curvatura (negativa) angular está contenida en la silla de montar. Fuera de ella, la porción de negacono es "localmente plana", no contiene ninguna curvatura.
Observe que, a partir de un pliegue dado, se puede construir el otro.
Relatividad general.
La idea fundamental es que el contenido local de "materia-energía" determina la geometría local, moldea la hipersuperficie espacio-tiempo. Observe que la palabra compuesta "materia-energía", que muestra que cualquier contenido determina la geometría del universo: materia* y *radiación. En una sección anterior, mencionamos el hecho de que los fotones contribuyen a la curvatura (positiva). Hoy en día, la contribución del fondo cósmico es despreciable. La contribución de la materia a la geometría es dominante. Pero, en el pasado lejano, la situación era inversa: en el Modelo Estándar, cuando t < 500 000 años.
Examinemos un modelo didáctico para comprender los conceptos fundamentales de la relatividad general. Ocupémonos de sistemas en estado estacionario. Consideremos una superficie plana, sin restricciones internas. Podemos modificar su geometría introduciendo restricciones locales. Podemos introducir una tensión positiva o negativa (tensor de tensión). Por ejemplo, si caliento una lámina plástica, crearé un bulto (efecto de curvatura positiva).
También puedo impregnar el material con un producto que, al secarse, causará un alargamiento local (efecto de curvatura negativa).
Un cerrajero sabe cómo usar el calentamiento y el enfriamiento para moldear una superficie metálica, por ejemplo, una lata que ha sufrido un accidente.
Tomemos un tubo metálico simple. Calentémoslo por un lado y enfríémoslo por el otro. ¿Qué pasará?
(40)
Las tensiones doblarán el tubo, como se muestra en la figura (41).
(41)
Hemos introducido tensiones en el metal. Esta es la origen de la palabra tensor en matemáticas, resistencia de materiales y geometría. El especialista en resistencia de materiales hablará del tensor de tensión. El geómetra invocará el tensor de curvatura. El especialista en relatividad general aplicará el principio fundamental:
contenido local materia-energía <-------> geometría local
Por supuesto, este contenido local materia-energía determina la geometría local de una hipersuperficie de 4 dimensiones. Pero la idea es similar.
¿Cómo escribirlo? Usando lo que los matemáticos llaman tensores.
Es difícil ir más allá en esta dirección sin desarrollar un curso completo de geometría diferencial. La ecuación famosa de Einstein es: (42)
**S **= c T
c es una constante simple (llamada constante de Einstein). Depende de los valores de otras dos constantes:
-
La velocidad de la luz c.
-
La constante de gravitación G.
por medio de:
(42bis)
S es un tensor geométrico y soporta las características geométricas.
T es otro tensor, que describe el contenido local del universo. En este tensor encontrarás la densidad de materia r y la presión p. Se expresan como densidades de energía. r c² es una densidad de energía
Pero p también es una densidad de energía. Normalmente, se expresa una presión en pascales por metro cuadrado. Pero un pascal por metro cuadrado también es un julio por metro cúbico. Una presión es fundamentalmente una densidad de energía volumétrica. Los campos
r (x,y,z) y p (x,y,z)
para un sistema en estado estacionario, forman la entrada del problema. A partir de estos campos escalares, podemos construir el tensor T. Luego, la pregunta se convierte en:
- ¿Cuál es la geometría que corresponde a un tal campo tensorial T (x,y,z), que satisface la ecuación (42)?
Dado el contenido local del universo, el teórico debe construir la geometría local de la hipersuperficie espacio-tiempo. Pero, ¿para qué?
Aquí se utiliza la otra hipótesis fundamental:
- Todos los objetos que componen nuestro universo siguen las geodésicas de la hipersuperficie espacio-tiempo.
Un objeto puede ser una estrella, un planeta, un átomo, un fotón, una partícula elemental.
¿Proceden las partículas de la ecuación de campo? En absoluto. La relatividad general las ignora por completo. Para el especialista en relatividad general, el universo es un continuo, nada más. Las funciones de entrada r y p corresponden a una descripción macroscópica del universo. Lo mismo ocurre con la salida: el sistema de geodésicas. Para el teórico de la relatividad general, el universo es una hipersuperficie, nada más. Él dice:
- Me dio las funciones r (x,y,z) y p (x,y,z). He construido para usted la hipersuperficie adecuada, que obedece a la ecuación de campo. He determinado todos los caminos posibles: el sistema de geodésicas. Pero soy completamente incapaz de construir partículas para usted. Lo siento. Vaya a otro departamento.
En resumen: el puente entre la relatividad general y el mundo de las partículas elementales aún espera su constructor.
Pero el astrónomo dirá:
- ¿Quién se preocupa? Los fotones se supone que siguen geodésicas particulares de esta hipersuperficie. Funciona: puedo observar fenómenos con dispositivos ópticos. Los planetas también se supone que siguen otro tipo de geodésicas. También funciona. Puedo calcular sus trayectorias, predecir la precesión del perihelio de Mercurio. También hay el efecto lente gravitacional.
Tiene razón.
Algunas palabras sobre este efecto gravitacional. En primer lugar, esta imagen del cono obtuso es una imagen didáctica simple. Por ejemplo, no puede describir las trayectorias circulares de un planeta alrededor de una estrella: (43)
Esto simplemente muestra el límite de las imágenes didácticas. Pero podemos usar este ejemplo para ilustrar el efecto lente gravitacional, con dos geodésicas:
(44)
A continuación, la representación mental euclidiana del espacio. Hay un efecto de espejismo. En lugar de un solo objeto, el observador ve dos "espejismos gravitacionales".