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Formalismo invariante con respecto a coordenadas.
Es otra palabra clave de la relatividad general. Hemos dicho que el trabajo del cosmólogo es equivalente al de predecir la forma de un material debido a tensiones internas. Tome un objeto cuya topología sea la de una esfera. Es una esfera de metal. Una vez más, podríamos moldearla utilizando flujos de aire caliente y frío. (45)
Estos flujos crean tensiones en el metal, lo que modifica su forma. Por supuesto, como el calor se propaga en el metal, si dejamos de calentar y enfriar, la temperatura de la esfera vuelve a la uniformidad y su aspecto se vuelve regular nuevamente. Creamos tensiones en el material, lo que modifica su geometría. Este campo de tensiones puede ser descrito por un objeto matemático llamado tensor T. La geometría del objeto puede ser calculada a partir de una ecuación de campo, similar a la ecuación de Einstein. (46) S = a T donde a es una constante y S un tensor geométrico, que describe las características geométricas. La mejor manera de "leer" la solución sería calcular el sistema de geodésicas. Conocemos las geodésicas de la esfera, pero las geodésicas de un huevo son diferentes. Para expresar estas geodésicas, necesitamos un sistema de coordenadas. Para una esfera, podemos usar un sistema (q,j): (47)
En este sistema de coordenadas particular, las geodésicas de la esfera pueden expresarse en una forma particular. Por ejemplo, las curvas: q = constante (meridianos)
son geodésicas. Pero las curvas
j = constante (paralelos) no son geodésicas de esa superficie. Podríamos definir un sistema de coordenadas similar en la superficie "huevo". Pero algo es evidente: el sistema de geodésicas existe independientemente de su representación matemática (en un sistema de coordenadas dado, particular). El sistema de geodésicas es invariante con respecto a coordenadas. Otro ejemplo es mucho más simple. Consideremos las geodésicas de una hoja plana. Son líneas rectas. Podemos describir estas líneas rectas en coordenadas cartesianas: (48) También podemos describir esta familia de geodésicas en coordenadas polares. Entonces las ecuaciones son completamente diferentes, pero se refieren a la misma familia de líneas rectas. Estas líneas rectas, geodésicas de la hoja plana, existen independientemente de las coordenadas elegidas. Son objetos invariantes con respecto a coordenadas. Las ecuaciones no son una característica intrínseca. ¿Es algo que no cambia cuando pasamos de un sistema de coordenadas a otro? Sí: el camino geodésico entre dos puntos M1 y M2 no cambia. Lo mismo ocurre con cualquier línea trazada sobre la superficie. La superficie, los puntos, la curva que los une existen independientemente del sistema de coordenadas elegido. Lo mismo ocurre con la longitud del camino entre M1 y M2. Esto también es cierto para un arco geodésico, que es una línea específica que conecta dos puntos: (49) Por otro lado, este camino geodésico también es un camino extremo (por ejemplo, el más corto, indicado aquí). Esto también es válido para la hipersuperficie espacio-tiempo, que posee su propio sistema de geodésicas, también invariante con respecto a coordenadas. En esta hipersuperficie existe una longitud s, que pertenece al objeto y es independiente del sistema de coordenadas elegido. El punto delicado es que el espacio y el tiempo no son cantidades independientes. No vivimos en un espacio de 3 dimensiones, con puntos (x, y, z). Pertenecemos a una hipersuperficie de 4 dimensiones, completamente descrita por su sistema de geodésicas. Consideremos dos puntos distintos de esta hipersuperficie M1 y M2. Estos puntos pueden describirse en un sistema dado de cuatro coordenadas:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1) M2 ---> (x2, y2, z2, t2) A estos puntos se les llama eventos. Podemos calcular la curva geodésica que los conecta, si existe. Estos eventos no son idénticos. Entre los dos, podemos medir una distancia s, que es invariante con respecto a coordenadas. Esta longitud se llama:
tiempo propio s
Supongamos que tú y yo usemos una nave espacial para viajar, de un punto M1 a otro punto M2, ubicado en el espacio-tiempo. s es la medida del tiempo indicada por nuestro reloj de a bordo.
Dirás: - ¿Pero el espacio existe, no? - Ten cuidado. Esta definición de lo que llamamos espacio y "tiempo absoluto" corresponde a una elección arbitraria. Son simplemente medios prácticos para "leer" la superficie, como cuando escribimos la ecuación de las líneas rectas, en una hoja plana, en dos ecuaciones diferentes. La única cosa que no cambia, que es invariante con respecto a coordenadas, es el intervalo de tiempo propio Δt entre dos eventos conectados por otro objeto invariante con respecto a coordenadas: una línea geodésica. El llamado "tiempo absoluto" t no es otra cosa que un marcador cronológico algo arbitrario. Al cambiar tu sistema de coordenadas, cambias la lectura de los eventos. En los artículos que presentaremos en este sitio, verás que esto es un problema real. De cualquier manera, entiendes por qué los físicos y matemáticos han elegido un formalismo invariante con respecto a coordenadas, basado en tensores. Las ecuaciones en forma de tensores son invariantes con respecto a coordenadas.
Ése es el espíritu de la relatividad general. Pero, salvo utilizando hardware sofisticado, es difícil decirte más al respecto.