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El problema de las singularidades.
En una esfera, sin importar el sistema de coordenadas elegido, no puedes evitar las singularidades (por ejemplo, dos singularidades polares):
(50)
Observe que es posible mapear una esfera utilizando una sola "singularidad polar". Corta la esfera según esta primera familia de planos que pasan todos por una misma recta:
(51)
Luego introduce la segunda familia de planos, que también intersecta a la esfera.
(52)
Si dejamos de lado esta zona problemática local, en otras partes no hay ningún problema. Al observar la esfera desde el otro lado, obtienes esto:
(53)
Sin embargo, en los puntos S, los valores de a y b simplemente no están definidos.
Sin embargo, una esfera es fundamentalmente una superficie regular. Gira un huevo en tus manos: no descubrirás ningún punto particular, ninguna singularidad intrínseca.
(54)
Conclusión: estas singularidades son un artefacto debido a la elección de las coordenadas.
Estas singularidades polares no son "reales", no constituyen singularidades intrínsecas. Eliges un sistema de coordenadas, y luego un punto (o dos) arbitrario se convierte en singular. Las dos singularidades de una esfera mapeada: el polo norte y el polo sur, son una creación puramente artificial debida a la elección del sistema de coordenadas.