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Por el contrario, existen singularidades intrínsecas reales en las superficies. Son verdaderas singularidades geométricas:
(55)
(56)
(57)
Y así sucesivamente...
Además, un pliegue es una región particular de una superficie donde se concentra la curvatura lineal. En la figura (57), a la izquierda, tenemos una curvatura lineal negativa; a la derecha, una curvatura lineal positiva.
En cada subfigura, hemos utilizado dos porciones de esfera. El objeto global tiene la misma topología que la esfera, lo que significa que su curvatura angular total es $4\pi$.
Supongamos que el objeto de la izquierda haya sido construido a partir de dos porciones de esfera, cada una conteniendo una curvatura angular de $3\pi$:
$$
3\pi + 3\pi = 6\pi
$$
Esto es demasiado. Por lo tanto, la curvatura lineal (negativa) debe compensar esto para obtener el valor final requerido $4\pi$:
En conclusión, nuestro pliegue contiene una curvatura negativa de:
$$
-2\pi
$$
Esta curvatura está distribuida uniformemente a lo largo de la curva circular, a lo largo del pliegue.
Volvamos a las figuras (57). Hemos representado triángulos construidos a partir de líneas geodésicas. Pero puede atravesar un pliegue sin ningún problema con una cinta adhesiva (estrecha). Sabe cómo calcular, y predecir, la suma de los tres ángulos del triángulo. Solo necesita comparar el área del triángulo con el área de la esfera. El exceso de curvatura es:
$$
\text{(58)}
$$
Pero debe tener en cuenta la curvatura (negativa o positiva) contenida en la porción del pliegue, es decir, en el arco $mn$. Esta curvatura es:
$$
\text{(59)}
$$
Supongamos que un tipo de lente, a la derecha de la figura (57), esté construida a partir de dos porciones de esfera, cada una conteniendo una curvatura angular de $\pi$. Por lo tanto, si ignoramos el pliegue, este conjunto de dos porciones de esfera contiene una curvatura angular de $2\pi$. Sin embargo, esta lente tiene una topología esférica; la contribución de la curvatura angular debe ser $2\pi$. Por lo tanto:
$$
2\pi + 2\pi = 4\pi \quad \text{(curvatura total de la esfera)}
$$
También puede predecir la suma de los ángulos de este triángulo extraño, formado por tres líneas geodésicas. El arco $mn$ contiene la siguiente curvatura angular lineal:
$$
\text{(60)}
$$
Al medir la cantidad de curvatura angular contenida en el pliegue, dentro del triángulo, se puede evaluar la desviación respecto a la suma euclidiana, que es $\pi$.
Así que ve que puede manejar relativamente fácilmente estos problemas de curvatura en superficies.
Una superficie puede tener puntos cónicos o líneas de pliegue. Son singularidades intrínsecas, y no estas singularidades artificiales, debido a una elección particular de coordenadas. Observamos que se puede suavizar el pliegue; obtenemos así una forma parecida a un cacahuete:
$$
\text{(61)}
$$
Esto equivale a suavizar el vértice puntual de un cono (curvatura angular concentrada), transformando el objeto en un cono redondeado (curvatura angular distribuida sobre una porción de esfera).
Supongamos que las dos porciones de esfera, representadas arriba en la figura (61), correspondan cada una a $2/3$ de esfera, es decir, una curvatura:
$$
\text{(62)}
$$
La porción gris del "cacahuete" contiene curvatura negativa, precisamente:
$$
\text{(63)}
$$