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Espacio representativo.
Hemos visto, en una sección anterior, que un cilindro puede aplanarse. Ahora, toma una hoja de papel, una hoja plana. Es una superficie euclidiana. Puedes trazar geodésicas en ella. Ahora, arrugala. (64)
Si pudieras hacer que esta superficie arrugada sea rígida y trazar geodésicas con cinta adhesiva, volverías a encontrar el mismo sistema. ¡La superficie no había cambiado realmente! Si un habitante viviera en tal "plano plano", podría no darse cuenta del proceso de arrugado. Todo seguiría normal para él, como es el caso hoy en día: siguiendo las geodésicas de su superficie espacio-tiempo de 2D, por ejemplo.
Arrugar la hoja, simplemente has modificado el sistema representativo, es decir, la forma en que la superficie de 2D está inmersa en el espacio euclidiano de 3D.
Una modificación más sencilla consiste en transformar una lámina metálica plana en una superficie ondulada. Ver figura (65) (65)
Hace muchos años, estaba en un gran mercado de Addis Abeba, Etiopía. Allí, el metal es raro. Se encuentran talleres donde jóvenes hombres transforman láminas onduladas en placas planas, usando un simple martillo. Si uno de ellos hubiera trazado una geodésica antes de la operación, habríamos descubierto que el sistema de geodésicas permanecería inalterado.
Pero, para ser honesto, no estoy realmente seguro de que este tipo de persona sepa lo que es una geodésica, desde el punto de vista matemático, por supuesto. Cualquier persona que fabrique cestas utiliza naturalmente líneas geodésicas.
Recuerdo que era profesor de tejido de cestas, en un campamento de vacaciones cerca de Burlington y del lago Champlain, en Vermont... hace muchos años.
Tenga en cuenta que los objetos geométricos tienen su propia existencia y propiedades, independientes de la manera en que los represente en un espacio con un número mayor de dimensiones. Arrugada o no, una hoja sigue siendo una hoja, es decir, una superficie euclidiana.
Se supone que vivimos en una hipersuperficie de 4D. Todos vivimos de la misma manera, por supuesto. Pero mi esposa Claire, quien es una persona muy encantadora, está convencida de que yo vivo en un espacio con más dimensiones (cinco, según ella). Esto a veces genera dificultades de comunicación cuando me encuentro en mi quinta dimensión personal.
¿Viven realmente las mujeres en una hipersuperficie de 4D? A veces lo dudo, pero es otra cuestión.
Supongamos que vives en una hipersuperficie de 4D y sigas las geodésicas de ese espacio-tiempo, como un buey sigue su surco.
Ahora supongamos que eres Dios. Quieres una representación completa de esta hipersuperficie de 4D. Entonces necesitas al menos una dimensión adicional. Personalmente, creo que, si Dios existe, debe vivir en un hiperuniverso de diez dimensiones. Los argumentos siguientes se desarrollarán en la Física Geométrica B, y provienen de la teoría de grupos.
¿Tiene Dios una estructura de grupo?
Prácticamente, el especialista en relatividad general calcula una solución de una ecuación de campo (la solución de Einstein). Luego examina el sistema de geodésicas. Son "líneas rectas de 4D". En el espacio-tiempo, al seguir las geodésicas, el orden general es:
- Ve derecho. No gires a la izquierda ni a la derecha.
Obedes, simplemente porque no puedes hacer otra cosa. Girar es una locura en el espacio-tiempo. Todo, todo el mundo "va derecho".
Pero las cosas, las trayectorias, los caminos, nos parecen curvados a nuestros ojos de 3D. Los leemos en nuestra representación mental del espacio. Estamos frente a la pared de la caverna de Platón, mirando sombras danzantes tridimensionales.
Volvamos a nuestra imagen didáctica de 2D, al cono achatado. Se supone que representa el espacio cerca de una concentración de masa (zona gris). Suponemos que corresponde a un estado estacionario.
Podemos usar coordenadas esféricas (r, q, j) como marcadores espaciales (en 3D). En 2D, solo tenemos dos: (r, q).
Luego podemos proyectar la figura en un plano y usar el mismo conjunto de coordenadas polares. Ver figura siguiente.
(66)
Como se dijo anteriormente, la superficie del cono achatado es un modelo didáctico grosero, sugiriendo una solución particular de la ecuación de campo de Einstein
(67) S = c T
construida en 1917 por Schwarzschild. Es una obra brillante e ingeniosa. Solo decir que, en esa época, Albert no era un genio solitario, perdido en una isla desierta. Mucha gente piensa que el gran matemático alemán Hilbert inventó la "ecuación de Einstein". Otros han sugerido que la señora Einstein podría haber contribuido eficazmente a la construcción de la relatividad especial, que surge naturalmente de los trabajos de Poincaré y Lorentz (si miras los trabajos de Einstein, verás que raramente menciona a otras personas).
La solución de Schwarzschild es un hito de la relatividad general. Se utiliza para calcular las trayectorias relativistas de los planetas alrededor del Sol, destacando la precesión del perihelio de Mercurio.
Todo el mundo diría inmediatamente:
- ¿Por qué Schwarzschild no lo calculó él mismo?
Había una muy buena razón: estaba muerto.
Schwarzschild era un patriota y insistió en ir al frente en 1917. Allí fue envenenado y murió más tarde. Einstein continuó el trabajo, que se convirtió en "la teoría de Einstein".
Era una solución de estado estacionario. Más tarde, Einstein intentó construir un modelo del universo, donde la curvatura podría identificarse con la densidad de energía-materia. Pero, en esa época, nadie sabía que el universo no era estacionario. Albert intentó construir un modelo estacionario, pero las cosas no salieron bien. Luego visitó a Élie Cartan, gran matemático francés, quien le recomendó agregar una constante en la ecuación de campo, lo que hizo Einstein.
Luego un piloto de planeador ruso llamado Friedmann inventó una solución no estacionaria. Aproximadamente en la misma época, Edwin Hubble descubrió el corrimiento al rojo y las características no estacionarias del universo. Einstein estaba muy decepcionado y dijo:
- Si hubiera sabido que el universo no era estacionario, habría encontrado la solución antes que Friedmann!
Como solían decir los espartanos.
Pero esta historia no terminó allí. Inicialmente, Friedmann había construido la solución cíclica, una de las tres que componen los "modelos de Friedmann".
Einstein permaneció en silencio durante años. Luego, después de la muerte de Friedmann, publicó el "modelo de Einstein-de Sitter", la "solución parabólica de Friedmann".
Más tarde, un joven investigador polaco llamado Kaluza presentó un artículo al "Profesor Einstein", rechazado para su publicación durante más de un año. Kaluza protestó ante Einstein, quien le respondió:
- Deberías mirar más atentamente esta teoría. Soy escéptico...
Años más tarde, la idea de Kaluza (añadir una quinta dimensión al espacio-tiempo) se convirtió en el punto de partida de obras avanzadas (incluyendo el enfoque de las cuerdas superiores). Ver Física Geométrica B.
Bueno, Albert no era tan deportista...
Volvamos al modelo estacionario de 3D correspondiente a la geometría espacio-tiempo alrededor del Sol. El cálculo da geodésicas ubicadas en planos. Si el efecto de curvatura es moderado y la velocidad es baja en comparación con la velocidad de la luz c, su proyección, en un espacio-tiempo euclidiano representativo, corresponde a trayectorias casi keplerianas y a las leyes de Kepler. Podemos ignorar el tiempo y representar estas geodésicas en planos, usando coordenadas polares.
r = f (q).
En la solución de Schwarzschild, en realidad existen dos "soluciones métricas" relacionadas, como se indica en la figura (68). Dentro del "cuerpo masivo", la densidad de masa r se supone constante. Allí, el tensor energía-materia T no es nulo. Pero, en el exterior, r y T son nulos.
(68)
Se trata de una geometría compuesta. En 3D, la densidad de masa presenta una discontinuidad brusca en la superficie (supuesta esférica) de la "concentración de masa". Esto se parece a la discontinuidad de la densidad de curvatura angular en la superficie (no nula en la zona gris, nula en el exterior). El límite se convierte en una esfera S1, es decir, un... círculo.
En 4D, se puede establecer un vínculo matemático para garantizar la continuidad de las líneas geodésicas. Esto se parece a la porción de vínculo de una porción de esfera o de un posicono.
Cuando la masa se vuelve importante (lo que no puede ser descrito por nuestro modelo didáctico grosero de 2D), las trayectorias cerradas ya no son elípticas.
Ver figura (69). Este dibujo corresponde a la trayectoria de una sonda espacial alrededor de una estrella de neutrones.
La trayectoria de Mercurio alrededor del Sol es similar, pero la precesión del perihelio de las trayectorias elípticas es de 0,15° por siglo.
(69)
Un día incluiremos las fórmulas y el programa que permiten jugar con este problema. No es muy difícil.
Algunas informaciones matemáticas al final de esta página y en la siguiente, si lo desea, puede ir directamente a la página 13 aquí