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Contexto geométrico.****
Una esfera es un objeto geométrico de dos dimensiones. Necesitamos dos magnitudes, dos números, dos escalares, para localizar un punto en ella.
Una esfera es una superficie que posee una topología. Su topología es diferente de la del toro.
Ambos poseen sistemas geodésicos. Como se indicó en una sección anterior, podemos imaginar dos puntos distintos M1 y M2 en una esfera y una curva que los conecte. Luego podemos medir la longitud a lo largo de este camino particular. Es una cantidad invariante ante cambios de coordenadas. Una esfera S² existe independientemente de cualquier espacio representativo en 3D. Pero podemos representarla en nuestro espacio euclidiano familiar en 3D, en el que supuestamente vivimos. Luego podemos asignarle un centro y conectar todos sus puntos con dicho centro. Ver figura (116). Cada punto corresponde a dos ángulos: q y j.
(116)
Hemos hecho un agujero en la esfera para mostrar los vectores OM, donde O es el centro y M un punto de la esfera.
Ahora, en la figura (117) se conservan los vectores y se olvida la esfera.
(117)
Estas semirrectas son infinitas, pero las hemos representado cortadas a una longitud dada, correspondiente al radio R de nuestra esfera. Cada recta corresponde a un par (q, j). La estructura métrica ha desaparecido. Ninguna geodésica, ninguna longitud. ¿Qué queda?
Cada una de esas semirrectas tiene vecinos, que forman su vecindario. Cada semirrecta puede imaginarse como encerrada en una sucesión de conos (figura (118)).
(118)
Alrededor de cualquier recta, podemos colocar tantos conos como queramos. Entre dos de estos conos siempre podemos insertar otro. Esto sugiere intuitivamente el concepto de diferenciabilidad. En tal objeto geométrico no hay discontinuidad.
Ahora, olvidemos la esfera y tomemos una superficie plana. Es un conjunto de puntos. Sin importar qué sistema de coordenadas elija, puedo definir los puntos con dos magnitudes: (x,y), (r,q), etc.
Un par de números reales. Estos pares se eligen en R², es decir, en el conjunto de los números reales, como (3,8705, -17,56).
Cualquier par de números reales (x; y) tiene un número infinito de vecinos (x + Dx; y + Dy).
Estos objetos "pre-métricos" son llamados por los matemáticos variedades.
Es bastante difícil pensar en un medio así "flexible". En la figura (119), representamos una superficie plana rígida, con propiedades métricas, y debajo, la sombra de sus puntos.
(119)
Una sombra no tiene forma propia ni extensión. Depende de la pantalla y de la producción de los rayos luminosos. En la figura (120), sugerimos la relatividad de la sombra con respecto al objeto.
(120)
Estas "líneas paralelas" son similares a esos rayos que introdujimos para unir los puntos de una esfera con su centro. Aquí, los puntos del plano están "conectados" a una "fuente" situada en el infinito.
Abandonemos esta última idea de líneas rectas. Consideremos un paquete de espaguetis cocidos (si no lo están, deberían ser rígidos y frágiles). Los podemos doblar. Pero imponemos a los espaguetis que permanezcan unidos. Su vecindario no debe modificarse.
(121)
Todo esto es muy burdo, lo sé, y no completamente riguroso. Solo intento sugerir al lector qué es una variedad, un objeto geométrico sin métrica, cuya propiedad principal es que cada punto tiene vecinos.
Una variedad es un conjunto de puntos m. Puedo imaginar que asocio a cada punto de una variedad un par (M1, M2) de puntos pertenecientes a superficies reales, que poseen propiedades métricas, longitudes, etc.
Llamo a la variedad de n dimensiones una variedad esqueleto y a las superficies asociadas de n dimensiones simplemente pliegues. Luego construyo el recubrimiento de dos pliegues de una variedad.
En la figura (122) se encuentra el recubrimiento de dos pliegues de una variedad m2 (dos dimensiones).
(122)
En la figura (122), he representado pliegues euclidianos idénticos y paralelos, con la misma métrica. Pero puedo construir la figura (123):
Llamaremos a M y M* puntos conjugados. Construir estos dos pliegues a partir de una "variedad esqueleto" tiene un significado preciso: a cualquier punto M del pliegue F, podemos asociar un único punto conjugado M*. Existe una aplicación punto a punto. Luego podemos olvidarnos de la variedad esqueleto.
A cualquier vecindario de un punto del pliegue F corresponde el vecindario de su punto conjugado M*. Ver figura (124). Esto significa que a cualquier región regular de F corresponde una región regular conjugada que pertenece a F*.
(124)
Esto muestra especialmente que los puntos conjugados M y M* son descritos por el mismo conjunto de coordenadas.