a123
| 24 |
|---|
Curvaturas conjugadas.****
¿Cómo comprender espacios de 3 dimensiones, con curvatura local positiva o negativa?
Comience con superficies de 2 dimensiones. Considere una esfera y fije un clavo en un punto cualquiera de ella, como se muestra en la figura (125). Fije un hilo cuya longitud sea L, uniendo el clavo y un lápiz. Podemos usar esto para dibujar un círculo, un paralelo de la esfera. Un paralelo de una esfera es el conjunto de los puntos que se encuentran a la misma distancia L de un punto dado S.
Podemos realizar operaciones similares (figuras (125)):
- En una silla de montar
- En un plano.
(125)
En una superficie plana, el perímetro es 2πL mientras que el área del disco es πL².
En la esfera, el perímetro y el área del disco son más pequeños. Por el contrario, en la silla de montar, son más grandes.
Considere una esfera y un paralelo que corresponda a su ecuador. Vea la figura (126). Los valores corresponden a la figura (126).
(126)
El área del disco es 3,875 veces mayor que la porción (gris) correspondiente de la esfera. Su perímetro es 1,57 veces más largo que la longitud del ecuador.
Pruebas similares mostrarían la curvatura negativa de la silla de montar. Si dibujamos una curva cerrada, conjunto de puntos situados a la misma distancia L de un punto dado, en una silla de montar, el área de este disco de curvatura negativa es mayor que el área de un disco plano πL². De manera similar, el perímetro del disco de curvatura negativa es mayor que el del disco plano: 2πL.
La geometría es una ciencia para los ciegos. Los geómetras intentan construir pruebas que los habitantes de un espacio dado puedan realizar para descubrir por sí mismos sus propiedades geométricas. A partir de las figuras anteriores, los habitantes de una superficie de dos dimensiones, incapaces de verla desde un punto externo (ya que viven dentro de ella), podrían descubrir, a través de mediciones de área y longitud, si la porción de superficie en la que viven tiene una curvatura local positiva, una curvatura local negativa o una curvatura local nula (espacio euclidiano).
Tenga en cuenta que existen superficies cuya curvatura local puede ser positiva, nula o negativa. Ejemplo: un toro.
(126ter)
Métodos similares se aplican a espacios de 3 dimensiones. Elija un punto O, en cualquier lugar. Tome un hilo, un "lápiz" y úselo para dibujar el conjunto de puntos situados a una distancia dada L del punto considerado. Obtendrá una esfera y podrá medir su área. Si esta superficie ha sido construida en un espacio euclidiano de 3 dimensiones, esta área será: 4πL².
Si esta área se encuentra más pequeña, significa que este espacio de 3 dimensiones no es euclidiano. Es un espacio de 3 dimensiones de Riemann, con curvatura positiva. Si medimos el volumen, notaremos que es más pequeño que:
(127)
La situación será inversa si tratamos un espacio de 3 dimensiones con curvatura negativa. El área de la esfera, considerada como el conjunto de puntos situados a una distancia dada L de un punto fijo O, será mayor que 4πL². El volumen dentro de esta superficie cerrada será mayor que (127).
La cosmología no se basa en espacios simples de 3 dimensiones, sino en hipersuperficies de 4 dimensiones (con firma "hiperbólica"), por lo que esta presentación es limitada. Debe considerarse como un modelo didáctico rudimentario.
La curvatura escalar de Riemann de un espacio de n dimensiones es algo diferente.
En nuestro modelo cosmológico actual, suponemos que la curvatura escalar de Riemann local, en los puntos conjugados (M, M), son opuestas:
*(127bis)
R* = - R
El especialista encontrará más detalles en el artículo:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, marzo 1998.
A continuación, una imagen didáctica útil en 2 dimensiones, correspondiente a la figura 39.
(128)
Arriba: un posicono suavizado. Curvatura local (angular) nula en la parte del posicono. Densidad de curvatura positiva constante en la parte (gris) de una esfera.
Abajo: un "negacono suavizado". Densidad de curvatura local (angular) nula en la parte del negacono que rodea la silla de montar. Densidad de curvatura negativa constante en la parte de la silla de montar, frente a la parte de una esfera.
Las curvaturas son conjugadas. Cara a cara, con correspondencia punto a punto, las partes de curvatura local nula del posicono y del negacono.
Cara a cara, con correspondencia punto a punto, una superficie de curvatura positiva constante (una parte de una esfera) y una superficie de curvatura negativa (silla de montar). Las densidades de curvatura son iguales y opuestas. Los bordes circulares están conectados, punto a punto.
Esta es una imagen didáctica de nuestro modelo cosmológico. Para más detalles matemáticos, véase:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, marzo 1998.