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Conclusión de esta primera parte dedicada a la geometría.
Una palabra sobre la Física Geométrica B y la teoría de grupos.
( Los elementos de la teoría de grupos, aplicados a la física, se encuentran al comienzo del sub-sitio Física Geométrica B, "Grupos Dinámicos en Física". )
Hemos introducido nuevos conceptos geométricos.
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Geometrías gemelas, inspiradas inicialmente por la idea de Andréi Sakharov: no existe un solo universo, sino dos, que A. Sakharov llamó, en 1967, "universos gemelos".
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Estos dos universos no viven en lugares distantes, sino que están "en el mismo lugar". Hemos dado la imagen (didáctica) de las damas, con dos partes, una jugada en las casillas negras y la otra en las casillas blancas.
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Esta es una imagen didáctica de una estructura geométrica más refinada, en la cual el universo, en su conjunto, está compuesto por dos pliegues distintos (pero interactivos). Estos pliegues son hipersuperficies de dimensión 4, que pueden considerarse como "la cubierta de dos hojas de una variedad esqueleto".
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Al igual que en la relatividad general, suponemos que las partículas siguen geodésicas de cada hipersuperficie. Una de estas hipersuperficies se supone que es nuestro espacio-tiempo. La otra se supone que es un espacio-tiempo gemelo.
A priori, se supone que tres tipos de partículas evolucionan a lo largo de las geodésicas de cada pliegue, que son, esquemáticamente:
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materia
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antimateria.
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fotones.
Así, en el segundo pliegue, el segundo universo, que podemos llamar pliegue fantasma o universo fantasma, encontraríamos:
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materia fantasma
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antimateria fantasma
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fotones fantasma.
( Todo esto se explica en detalle en "Física Geométrica B: Grupos Dinámicos en Física". )
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Los dos pliegues son distintos y sus líneas geodésicas también son distintas. Así, un fotón que se mueva a lo largo de una geodésica de nuestro pliegue F no puede saltar y seguir una "geodésica fantasma", que pertenece al universo fantasma, al pliegue fantasma F*. En conclusión, la luz emitida por la materia (o la antimateria) en nuestro pliegue no puede alcanzar al otro universo y ser recibida por una partícula fantasma. Si existieran criaturas vivientes en el pliegue F*, no podrían ver nuestras estrellas, nuestras galaxias, nada que se encuentre en nuestro pliegue, por razones puramente geométricas.
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Por el contrario, un fotón fantasma, emitido por una partícula de materia fantasma (o antimateria fantasma) en el pliegue fantasma F* (o universo fantasma), se mueve a lo largo de una geodésica de este pliegue y no puede saltar al otro pliegue, el nuestro. Por lo tanto, no puede ser recibido, capturado por una partícula masiva situada en nuestro universo. En conclusión, las estructuras del universo gemelo, o universo sombra, o universo fantasma, cualquiera que sea el nombre que elijamos, son fundamentalmente invisibles para nosotros. Si existen estructuras de cualquier tipo en este segundo universo, no podemos observarlas, por medios ópticos, por la misma razón: por razones puramente geométricas.
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Esta idea se acerca a la idea avanzada por la teoría de las supercuerdas. Muchos investigadores de la comunidad de las supercuerdas ahora están convencidos de que existen dos mundos, que se comunican únicamente a través del campo gravitacional.
Witten (ganador de la medalla Fields), Duff, Green Schwarz, el ganador del Premio Nobel Abdus Salam...
ver un artículo reciente de Michael Duff, en Scientific American, titulado "la nueva teoría de las supercuerdas", traducido al francés (Pour la Science, abril de 1998).
Duff imagina la materia "en una pared" y la materia invisible "en otra pared, paralela a la primera".
La idea de dos universos, dos entidades, incapaces de verse mutuamente y comunicándose únicamente a través de la fuerza gravitacional, fue inicialmente propuesta por Green, Schwarz y el ganador del Premio Nobel Abdus Salam.
La idea general consiste en extender el número de dimensiones. En física clásica, este número es de cuatro: (x, y, z, t), correspondiente al espacio-tiempo. La física teórica moderna tiende a extender este número, generalmente a diez.
Todo se basa entonces en las teorías de grupos y las simetrías. Una simetría no es solo las simetrías familiares del espacio de 2D o 3D, como:
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Simetría con respecto a un punto.
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Simetría con respecto a un plano.
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Simetría con respecto a una recta.
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o simetría de rotación (objetos periódicos, cristales).
Un objeto que permanece inalterado a través de una traslación posee este "tipo de simetría".
También existen, por ejemplo, simetrías con respecto al tiempo. Consideremos el movimiento de una partícula de prueba situada a una distancia r de un punto masivo M.
G siendo la constante gravitacional, el movimiento obedece, en dinámica newtoniana, a la siguiente ecuación diferencial:
(142)
que tiene una solución particular:
(143)
esta última siendo reversible en el tiempo. Obtenemos una simetría con respecto al tiempo, una simetría T.
Las partículas poseen un conjunto de simetrías particulares. Esto forma un conjunto de restricciones fuertes, si se quiere construir el grupo que gobierna las "cosas".
Actualmente, los investigadores de la teoría de las supercuerdas se enfrentan a un muro. Su caja de herramientas ofrece demasiadas posibilidades, de modo que ya no hablan de teoría, sino de teorías. Muchos dicen: "entre las millones de teorías posibles..."
Con mi colega Pierre Midy, abordamos el problema desde un ángulo diferente, utilizando una herramienta llamada "la acción coadunta de un grupo sobre su espacio de momentos". Véase el libro de Jean-Marie Souriau:
"Estructura de los sistemas dinámicos", Birkhauser Ed. 1997".
(Véase también Física Geométrica B, Grupos Dinámicos en Física ) . ** Con esta herramienta, fue posible geométrizar partículas elementales como el protón, el neutrón, el electrón, el fotón, los neutrinos y sus antipartículas. Pero no tratamos estructuras más profundas (quarks). Véase nuestro artículo:
J.P. Petit y P. Midy: Geometrización de la materia y la antimateria a través de la acción coadunta de un grupo sobre su espacio de momentos. 1: Cargas como componentes escalares adicionales del momento de un grupo actuando en un espacio de 10 dimensiones. Definición geométrica de la antimateria. Física Geométrica B, 1, 1998.
Este artículo contiene una definición geométrica de la antimateria.
Breve, más allá del espacio-tiempo clásico: {x, y, z, t}, añadimos seis dimensiones adicionales, dimensiones adicionales:
{z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆}
Podemos asociar estos escalares a un vector z. De la misma forma, podemos definir el vector espacio-tiempo:
(144)
Podemos considerar que una partícula "vive" en un espacio de diez dimensiones:
(145)
(146)
O, simplemente: z → - z
lo que significa:
z₁ → - z₁
z₂ → - z₂
z₃ → - z₃
z₄ → - z₄
z₅ → - z₅
z₆ → - z₆
Todas las dimensiones adicionales están invertidas.
La introducción de dimensiones adicionales modifica el Grupo Dinámico. Véase el libro de Souriau, edición Birkhauser 1997.
En física relativista no cuántica, el grupo dinámico es el grupo de Poincaré. Se extiende al mundo cuántico, introduciendo una quinta dimensión z (Souriau, 1964). Además, el método de Kostant-Kirilov-Souriau permite construir la ecuación de Klein-Gordon a partir de la "extensión central del grupo de Poincaré", nuevo grupo dinámico.
Tratamos un grupo de Poincaré generalizado y extendido ("grupo de Petit"), cuya acción coadunta sobre su espacio de momentos da los seis números cuánticos clásicos:
q: carga eléctrica
cB: número bariónico
cL: número leptónico
cm: número muónico
ct: número tauónico
v: constante giromagnética.
Una partícula se define entonces por el conjunto:
{q, cB, cL, cm, ct, v, E, px, py, pz, s}
E es su energía
{px, py, pz} es su vector de impulso
s es su espín.
Por ejemplo, un electrón corresponde a:
q: carga eléctrica = -1
cB: número bariónico = 0
cL: número leptónico = 1
cm: número muónico = 0
ct: número tauónico = 0
v: constante giromagnética = ve
s = 1/2
y un antiprotón a:
q: carga eléctrica = -1
cB: número bariónico = -1
cL: número leptónico = 1
cm: número muónico = 0
ct: número tauónico = 0
v: constante giromagnética = -ve
s = 1/2
un fotón a:
q: carga eléctrica = 0
cB: número bariónico = 0
cL: número leptónico = 0
cm: número muónico = 0
ct: número tauónico = 0
v: constante giromagnética = 0
s = 1
En la teoría de Dirac de la antimateria, todas las cargas están invertidas (incluida la carga eléctrica).
Como todas las cargas del fotón son nulas, esto explica por qué el fotón es su propia antipartícula, ya que:
- 0 = + 0
Este método da entonces una primera geométrización de las partículas elementales (ordinarias). La descripción está limitada a las componentes de los núcleos.
Versión original (inglés)
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Conclusion of this first part devoted to geometry.
A word about Geometrical Physics B and group theory.
( Elements of group theory, applied to physics, are given at the beginning of the sub-site Geometrical Physics B, "Dynamic Groups in Physics". )
We have introduced new geometric concepts.
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Twin geometries, inspired initially by Andréi Sakharov's idea: There is not only a single universe, but two, which A. Sakharov called, in 1967 "twin universes".
-
These two universes don't live in distant places, but lie "at the same place". We gave the (primitive) didactic image of checkers, with two games, one being played on black squares and the other on white ones.
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This is a didactic image of a more refined geometric structure, in which the universe, as a whole, is composed by two distinct (but interacting) folds. These folds are 4d hypersurfaces, which can be considered as "the two-folds cover of a skeleton-manifold".
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As in general relativity, we assume that particles follow geodesic of each hypersurface. One of these is supposed to be our space-time. The other is supposed to be twin space-time.
A priori three kinds of particles are supposed to cruise along geodesics in each fold, which are, schematically :
-
matter
-
anti-matter.
-
photons.
So that, in the second fold, the second universe, that we can call ghost fold, or ghost universe, we would find :
-
ghost matter
-
ghost anti-matter
-
ghost photons.
( all that is explained in details in " Geometrical Physics B : Dynamic Groups in Physics" ).
-The two folds are distinct and their geodesic lines are distinct too. So that a photon, travelling on a geodesic of our fold F, cannot jump and follow a "ghost geodesic", which belongs to the ghost universe, the ghost fold F*. As a conclusion, light emitted by matter (or anti-matter) in our fold, cannot reach the other universe and be received by some ghost particle. If some living creatures exist in the fold F*, they cannot see our stars, our galaxies, anything that lies in our fold, on pure geometrical grounds.
-
Conversely, a ghost photon, emitted by a particle of ghost matter (or ghost anti-matter) in the ghost fold F* ( or ghost universe ), travels on a geodesics of this fold and cannot jump to the other fold, ours. So that it cannot be received, captured by any massive particle located in our universe. As a conclusion, the structures of the twin universe, or shadow universe, or ghost universe, whatever the name we choose, are basically invisible to us. If there are structures of any kind in this second universe, we cannot observe it, by optical means, for the same reason : on pure geometrical grounds.
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This idea is close to the superstring advanced idea. Many researchers, from the superstring community, are now convinced that two worlds exist, which communicate only through gravitational field.
Witten ( Field medal winner ), Duff, Green Schwarz, the Nobel Price winner Abdus Salam.....
see a recent paper of Michael Duff, in Scientific American, entitled "the new superstring theory", translated in french (Pour la Science Journal, april 1998 ).
Duff imagines matter "on a wall" and some invisible matter "on another wall, parallel to the first.
The idea of two universe, two entities, unable to see each other and communicating only through gravitational force, was initially due to Green, Schwarz and the Nobel Price winner Abdus Salam.
The general idea is to extend the number of dimensions. In classical physics, this number is four : (x , y , z , t), corresponding to space-time. Modern theoretical physics tends to extend that number, in general to ten.
Then all is based on group theories and *symmetries *. A symmetry is not only the familiar symmetries of the 2d or 3d space, like
-
Symmetry with respect to a point.
-
Symmetry with respect to a plane
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Symmetry with respect to a straight line.
-
or rotational symmetry ( periodic objects, crystals ).
An object which remains unchanged through a translation owns this "kind of symmetry".
There are also, for example, symmetries with respect to time. Consider the movement of a test particle, located at a distance r from a mass-point M.
G being the constant of gravity, the movement obeys, in newtonian dynamics, the following differential equation :
(142)
which owns a peculiar solution :
(143)
this last being *time-reversible **. ***We get a symmetry with respect to time, a T-symmetry.
Particles own a set of peculiar symmetries. This forms a set of strong constraints, if one wants to build the group which runs the "things".
At the present time the superstring men are facing a wall. Their tool box offers too many possibilities, so that they don't talk about theory, but about theories. Many uses to say : "among the million of possible theories..."
With my colleague Pierre Midy we have approached the problem on a different angle, using a tool called "the coadjoint action of a group on its momentum space". See the book of Jean-Marie Souriau :
"Structure of Dynamical Systems", Birkhauser Ed. 1997".
(See also Geometrical Physics B, Dynamic groups in Physics ) . ** With such tool it has been possible to geometrize elementary particles such as proton, neutron, electron, photon, neutrinos, and their anti. But we do not deal with deeper structure ( quarks). See our paper :
J.P.Petit and P.Midy : Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of anti-matter. Geometrical Physics B, 1, 1998.
This paper contains a geometrical definition of anti-matter .
Briefly, to classical space-time : { x , y , z , t } we add six more dimensions, additional dimensions :
{ z 1, z 2,z 3,z 4,z 5,z 6 }
We can link these scalar to a vector **z . **Similarly we can define the space-time vector :
(144)
We can consider that a particle "live" in a ten dimensional space :
(145)
(146)
Or, simply : z ---> - z
which means :
z 1 -----> - z 1 z 2 -----> - z 2 z 3 -----> - z 3 z 4 -----> - z 4 z 5 -----> - z 5 z 6 -----> - z 6
All the additional dimensions are reversed.
The introduction of additional dimensions modifies the Dynamic Group . See the book of Souriau, Birkhauser Ed. 1997.
In non quantum relativistic physics the dynamic group is the Poincaré's group. One extends to the quantum world, introducing a fifth dimension z (Souriau, 1964). Furthermore the Kostant-Kirilov-Souriau method makes it possible to build the Klein-Gordon equation from the "Central extension of the Poincaré group", the new dynamic group.
We deal with a generalized extended Poincaré's group ("Petit's group"), whose coadjoint action on its momentum gives the six classical quantum numbers :
q : electric charge cB : baryonic number cL : leptonic number cm : muonic number ct : tauonic number v : gyromagnetic constant.
Then a particle is defined by the set :
{ q , cB , cL , cm , ct , v , E , px , py, pz, s }
E is its energy
{ px , py, pz} is its impulsion vector
s is its spin.
For example, an electron corresponds to :
q : electric charge = - 1 cB : baryonic number = 0 cL : leptonic number = 1 cm : muonic number = 0 ct : tauonic number = 0 v : gyromagnetic constant. = ve s = 1/2
and anti proton to : q : electric charge = - 1 cB : baryonic number = -1 cL : leptonic number = 1 cm : muonic number = 0 ct : tauonic number = 0 v : gyromagnetic constant. = - ve s = 1/2
a photon to :
q : electric charge = 0 cB : baryonic number = 0 cL : leptonic number = 0 cm : muonic number = 0 ct : tauonic number = 0 v : gyromagnetic constant. = 0 s = 1
In Dirac's anti-matter all the charges are reversed ( including the electric charge ).
As all the charges of photons are zero it explains why the photons is its own antiparticle, because :
- 0 = + 0
Then this method gives a first geometrization of (usual) elementary particles. The description is limited to the components of the nuclei.