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Geodésicas.
...En
lo que sigue tratamos con superficies bidimensionales. Por cierto, ¿por qué es una superficie un
objeto bidimensional? Porque se necesitan dos parámetros para localizar un punto en ella. Ejemplo:
longitud y latitud en la Tierra.
...Son
cosas que entenderás mejor con las manos que con la
cabeza. Intenta encontrar algunas cosas antes de empezar a leer este texto. Necesitas:
- Papel, a la vez firme y
flexible. - Cinta adhesiva de colores.
- Tijeras
...A continuación, con este
tipo de cinta adhesiva de colores puedes hacer tiras de anchura constante.
(6)
...Toma
cualquier superficie, por ejemplo la carrocería de tu coche. Puedes pegar tu tira de cinta
adhesiva sobre ella, evitando con cuidado las arrugas. Entonces obtienes geodésicas de
esta superficie. Hay una infinidad de ellas en la carrocería de tu coche.
Puedes hacerlo sobre un plato
plano. Entonces obtienes "líneas rectas de tu plano".
Las "líneas rectas" son
solo geodésicas peculiares, las del plano.
(7)
Con tres geodésicas
haces un triángulo sobre esta "superficie euclidiana". Entonces la suma de los tres
ángulos es 180°.
Posiconos.
...Ahora,
construyamos un "posicono", una especie de "cono positivo". Basta con tomar un trozo
de papel, una superficie plana, y recortar un sector con las tijeras. Luego junta las
líneas SA y SB, como se indica en la figura siguiente.
(8)
...Ahora,
con nuestra cinta adhesiva, dibujamos tres líneas geodésicas sobre esa superficie, como se muestra
en la figura (9). Podemos medir la suma de los tres ángulos y encontramos dos
casos:
Si el triángulo no
contiene el vértice S de este posicono, la suma sigue siendo 180°.
Si contiene el vértice,
sea cual sea la disposición alrededor de él, pequeña o grande, la suma es: 180° +
q .
(9)
Para entenderlo, puedes
cortar tu posicono y ponerlo plano. Entonces tu ángulo q
aparece claramente.
(10)
...Puedes
comprobar fácilmente que las dos rectas AH y podemos por tanto verificar
fácilmente que las rectas SH y SH' forman un ángulo igual a q
.
... Un
cono es una superficie que se puede poner plana, después de cortar a lo largo de una línea que contiene
el vértice. En francés decimos que es una superficie "développable", pero
no encuentro la palabra inglesa en mi diccionario. Lo mismo
ocurre con un cilindro.
(11)
...Puedes
dibujar líneas geodésicas sobre un cilindro, con tu tira de cinta adhesiva. Pero, después
de hacer tu corte y poner tu cilindro plano, tus líneas geodésicas se vuelven...
líneas rectas.
También puedes hacer rodar tales
superficies ( cono, cilindro ) sobre un plano. Figura siguiente.
(12)
...Puedes
dibujar una geodésica sobre un cono o sobre un cilindro con tinta, y luego hacerlo rodar
sobre un plano, usándolo como matriz de impresión. Entonces, sobre tu plano, imprimirás
líneas rectas.
...A la inversa,
si dibujas líneas rectas sobre tu plano y haces rodar el cono o el cilindro
sobre él, antes de que la tinta se seque, imprimirás geodésicas sobre él.
