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(Positiva) Curvatura.
Cuando dibujamos un triángulo, usando nuestra cinta adhesiva, sobre un plano,
la suma del valor de los ángulos es 180°. Esta es una superficie euclidiana. Diremos que no contiene curvatura. Es realmente una superficie plana. La suma
de los ángulos de nuestro triángulo es la suma euclidiana. Cuando dibujamos el triángulo
sobre nuestro cono, nuestro "posicono", y cuando el vértice S estaba fuera de él, la suma
seguía siendo 180°. Por el contrario, cuando el vértice estaba dentro, la suma era 180°
más el ángulo q (el
corte que logramos construir para nuestro posicono, véase la figura (8)).
Este vértice es un punto peculiar de la superficie, uno cónico, y diremos que contiene algo de curvatura concentrada (positiva).
Es un punto de curvatura concentrada (positiva).
Ahora podemos gestionar dos cortes, correspondientes a los ángulos q1
y q2. Véase
la figura (13). Entonces obtenemos una superficie extraña con dos puntos cónicos S1
y S2. Véase la figura (14).
(13)
(14)
Ahora puedes dibujar tantos triángulos geodésicos como quieras,
correspondientes a diferentes casos.
-
Si no contienen ningún vértice cónico, la suma de los ángulos
es 180°. -
Si contienen el vértice S1, la suma es
180° más q1. -
Si contienen los dos vértices, q1
y q2, la
suma es 180° + q1+
q2
(15)
Imagina ahora que puedes hacer un gran número de pequeños posiconos
y pegarlos juntos, como se muestra en la figura (16). Cada pequeño posicono corresponde
a un ángulo elemental Dq
. Puedes disponer estos miniconos de manera regular. Me refiero a: la distancia
entre un vértice y los vértices del minicono de los vecinos sería casi
constante en todas partes.
(16)
Si tu minicono se hace cada vez más pequeño, así como
su ángulo elemental asociado Dq
, construirás una porción de superficie regular con densidad de curvatura constante.
Una esfera es una superficie con densidad de curvatura local constante.
De manera más simple, se dice que la esfera es una superficie de curvatura constante.
Si dispones tus miniconos de otra manera, puedes construir
una superficie de densidad de curvatura local variable. Por ejemplo, un huevo.
El huevo de una gallina es una superficie de densidad de curvatura local variable. Pero una pelota
de ping-pong es una superficie de densidad de curvatura constante. Es por eso que la gallina reconoce
su huevo y lo diferencia de la pelota de ping-pong. Dibuja geodésicas
con cinta adhesiva, etc...
De hecho, la gallina no traza físicamente geodésicas
sobre el objeto. Lo hace mentalmente.
(17)
En relatividad general se identifica la densidad de masa r
con la curvatura local.
Por supuesto, el terreno de juego de la relatividad general no es una superficie
2d. Puedes imaginar una hipersuperficie 3d. Puedes imaginar una hiperesfera 3d.
Pero ¿quién puede imaginar una hipersuperficie 4d?
Por cierto, la curvatura 4d de la hipersuperficie 4d llamada
"universo" tiene características especiales que no vamos a explorar aquí. Esto muestra
que los modelos didácticos son limitados. Pero son buenos para estimular la imaginación
y para abrir la mente hacia mundos algo diferentes.
