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Imagen didáctica de un cuerpo celeste (estrella, planeta, huevo denso)
Una estrella como el Sol es una concentración de masa.
Alrededor: el vacío, o una porción de espacio que está "casi vacía", pues contiene
gas muy enrarecido y fotones. En 2d, la imagen didáctica correspondiente es
un cono romo (posi):
(18)
Puedes hacerlo con dos componentes. Una porción de una esfera
y una porción de un cono (posi), pegadas. La porción de una esfera es
una superficie de densidad de curvatura constante. La porción del cono es una superficie plana,
una superficie de curvatura de densidad local nula. Este último ejemplo es una superficie
euclidiana. La porción de la esfera es una superficie no euclidiana (una superficie
riemanniana).
Esta es la imagen didáctica en 2d de un objeto de densidad constante r,
rodeado de vacío.
¿Cómo fijar los dos elementos juntos, para asegurar
la continuidad del plano tangente? Es simple. Tu porción de un cono
proviene de un cono cuyo corte correspondía a un ángulo q
. Se supone que tu porción de esfera está construida con mini-posiconos elementales,
de modo que contiene una cierta "cantidad de curvatura angular" q.
Si los dos ángulos son iguales, el plano tangente será continuo.
Pero ¿cómo medir la cantidad de curvatura contenida en
una porción dada de una esfera?
Curvatura total.
Podemos construir una superficie, uniendo posiconos elementales.
Podemos disponerla para obtener una superficie de densidad de curvatura constante. Entonces sabemos
que la superficie es una porción de una esfera. Si añadimos más y más conos
elementales (posi) esta esfera será completa. Contiene una cierta cantidad de
curvatura angular. Todas las esferas contienen la misma. La curvatura angular total
de una pelota de ping-pong y la curvatura angular total de la tierra son iguales,
aunque tienen un peso muy diferente.
Por cierto, la curvatura total de un huevo es la misma,
pues tienen la misma topología. En principio, las gallinas hacen huevos con topología
esférica. Personalmente nunca he visto un huevo con topología toroidal. Correspondería
a alguna extraña serpiente, sin cabeza ni cola, o algo
así.
Volvamos a las pelotas de ping-pong, esferas normales. Si esta
superficie tiene una densidad angular local constante significa que la cantidad de curvatura
angular (la suma de ángulos elementales Dq)
será proporcional al área. Véase la figura 19. Esta área puede estar limitada
por cualquier tipo de borde. Pero podemos usar geodésicas de la esfera. Llamemos S al
área de la esfera y s al área gris, dentro del triángulo.
(19)
Arriba, vimos que la (positiva) desviación de la suma
euclidiana (180°), para un triángulo dibujado sobre una superficie, depende del número
de cumbres de cono que estaban dentro. La suma era 180° más todos los ángulos
correspondientes a esas cumbres encerradas.
A la inversa, si mido la desviación de la suma
euclidiana puedo medir la cantidad de curvatura contenida dentro del triángulo.
Una geodésica de una esfera se llama círculo máximo de la
esfera. Véase la figura (20). Los meridianos, el ecuador, son círculos máximos de la esfera.
(20)
Podemos cortar nuestra esfera en ocho piezas de igual área. Véase
la figura (21). Obtenemos ocho triángulos cuyos todos los valores de ángulos son 90°.
Entonces la desviación de la suma euclidiana es 90° . Cada uno de estos triángulos contiene
una curvatura angular igual a 90°. Como conclusión la curvatura total,
la curvatura angular total de la esfera es 8 x
90° = 720° = 4 p.
(21)
Cada triángulo gris contiene p/2
.
¿Disfrutas de las superficies curvas, de la geometría de superficies
riemannianas?
Si volvemos a nuestro cono romo vemos que la curvatura
angular está contenida dentro del borde circular, en el área de densidad de curvatura
constante. El flanco, la pared, del cono no es una superficie limitada. Puedes extenderlo
hasta el infinito si quieres. La cantidad de curvatura angular no depende
del perímetro del borde, del área de la porción de una esfera. Esta
última puede reducirse. Véase la figura (22). Incluso reducida a un simple punto donde
contendrá la misma cantidad de curvatura angular. Por eso decimos que
un punto cónico era un punto de curvatura concentrada. A la inversa podemos construir
superficies suaves con un conjunto de puntos cónicos.
La materia está hecha de átomos. Los átomos pueden considerarse como objetos
puntuales. Son "puntos de curvatura concentrada" en el espacio 3d.
El aire que respiras es un medio de densidad constante. Está
hecho de moléculas, átomos. Es un conjunto de puntos de curvatura concentrada, unidos
por porciones euclidianas de espacio. Lo asimilas a un medio de curvatura
constante.
La próxima vez que respires, piensa en ello. .
(22)
