Negacones.
Construyamos ahora lo que llamaremos un "negacono". Para construir un posicono, quitamos un sector de un plano. Aquí añadimos uno, correspondiente a un ángulo q:
(30)
Sobre esta superficie podemos dibujar líneas geodésicas, con nuestra cinta adhesiva, y formar un triángulo con tres de ellas. Si mides la suma de los ángulos, verás que es 180°-q. Diremos que define una concentración de curvatura negativa.
Hay objetos con curvatura negativa en tu casa. Algunos asientos, por ejemplo: (30 bis)
Si tomamos un disco obtenemos la figura (31):
(31)
Por supuesto, si el triángulo compuesto por las tres geodésicas no contiene el vértice S, que contiene toda la curvatura angular (negativa), la suma será la suma euclidiana: 180°.
La silla de montar.
Puedes construir un gran número de negaconos elementales
con ángulo - Dq
y unirlos. Puedes hacerlo para tener una distancia casi constante entre dos vértices vecinos. Entonces construirías una superficie de densidad de curvatura negativa constante: una silla de montar. Pero esta superficie nunca llegará a cerrarse.
En general, el geómetra la llama superficie de curvatura negativa constante.(32)
"Negacono romo".
En una sección precedente, usando una superficie de densidad de curvatura positiva constante (una porción de esfera) y una porción de posicono, construimos un posicono romo.
De manera similar podemos construir lo que llamaremos un negacono romo. Tenemos que unir una silla de montar a una porción de negacono, a lo largo de su borde circular común. Para gestionar la continuidad del plano tangente, la curvatura (negativa) contenida en la silla de montar debe ser igual a la curvatura negativa involucrada en la construcción del negacono.
¡Es relativamente fácil construir la porción requerida de un negacono!
(33)
NB: Como el posicono, el negacono puede usarse como matriz de impresión. Pero difícilmente podemos ver cómo rodar un negacono sobre un plano. Por lo tanto, es más fácil rodar el plano sobre una matriz de curvatura negativa.
Gutemberg inventó la técnica de impresión. Un diseño en relieve se talla sobre un plano. Luego se pone tinta sobre él y se presiona sobre un plano.
Más tarde, la matriz de impresión se convirtió en un cilindro, para la impresión de periódicos (prensa rotativa).
Pero nadie, que yo sepa, usó la prensa cónica.
En todos los casos, el punto importante es poner las dos superficies en contacto, hágase lo que se haga. O mueves la matriz, o ruedas el papel (la superficie plana).
Como se muestra en la figura (34), puedes usar una matriz cónica para imprimir algo sobre un plano. Algún periódico cónico, puesto plano.
(34)
No es definitivamente seguro que nadie vaya a usar eso, algún día. Supón que quieres producir vestidos, con un diseño especial, correspondiente a la simetría cónica. Supón que tienes que producir miles de vestidos así. Podrías grabar el diseño original en una matriz cónica, y luego usarla para imprimir sobre el material, o la tela. El cliente podría comprarlo y hacer el vestido "cónico", estando seguro de que el patrón obtenido sería bueno en todas partes.
En la figura (35) está lo que obtienes si imprimes con una matriz de curvatura negativa. A la derecha, un negacono puesto plano.
(35)
En la figura (36) se muestra cómo unir la silla de montar a la porción de negacono.
Por cierto, puedes preguntar:
- ¿Cómo puedo medir la curvatura angular negativa contenida en mi silla de montar?
En algunos lugares de Texas, cerca de departamentos de matemáticas, cuando compras una silla de montar la curvatura angular correspondiente se indica en el ticket adjunto. Si no, cuando comparas el perímetro del borde, o el área, con el valor euclidiano, calculado a partir del radio de este disco de curvatura negativa, puedes deducir la curvatura angular correspondiente. Considera esto como un ejercicio fructífero.
(36)
(37)
Ahora podemos usar nuestra cinta adhesiva, dibujar geodésicas y proyectarlo sobre un plano, como se muestra en la figura (38).
(38)
Como de costumbre, esta proyección plana se refiere a nuestro "mundo mental", la pared de la caverna de Platón. El aspecto de la geodésica proyectada significaría para nosotros que alguna fuerza repulsiva está actuando sobre nuestros objetos de referencia, por ejemplo una fuerza gravitatoria repulsiva. De hecho, todo eso debería venir de la geometría subyacente.
