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Geometrías conjugadas.
Ahora podemos asociar un posicono romo y un negacono romo.
Enfrentados: una porción de esfera y una silla de montar, con curvatura angular opuesta + q
y - q. Tenemos una correspondencia punto
a punto (aplicación inyectiva). En la figura (39) se han representado un par de puntos conjugados.
Llamamos geometrías conjugadas a dos estructuras geométricas,
con un vínculo punto a punto, tales que las densidades de curvatura local son opuestas.
Este es el caso de la porción de esfera y la correspondiente silla
de montar. Lo mismo se aplica a la porción de posicono, frente a una porción de
negacono. Sus densidades de curvatura angular local son cero.
(39)
La curvatura positiva, en el pliegue F, está enteramente contenida
en la porción de esfera. La porción de posicono es una superficie euclidiana,
que es "localmente plana". En el otro pliegue F*, el pliegue conjugado, toda la
curvatura angular (negativa) está contenida en la silla de montar. Fuera, la
porción de negacono es "localmente plana", no contiene curvatura.
Nótese que dado un pliegue se puede construir el otro.
Relatividad General.
La idea básica es que el contenido local de "materia-energía"
determina la geometría local, da forma a la hipersuperficie del espacio-tiempo. Nótese
que la palabra compuesta "materia-energía", que muestra que cualquier contenido determina
la geometría del universo: materia y radiación. En una sección precedente
evocamos el hecho de que los fotones contribuyen a la curvatura (positiva).
Hoy la contribución del fondo cósmico es despreciable. La contribución de la materia
a la geometría es dominante. Pero, en el pasado remoto, la situación era la inversa
: en el Modelo Estándar, cuando t < 500.000 años.
Busquemos algún modelo didáctico para figurar los
conceptos básicos de la relatividad general. Tratemos con sistemas estacionarios.
Consideremos una superficie plana, sin ninguna tensión interna. Podemos modificar su geometría
si introducimos tensión local. Podemos introducir tensión positiva o negativa
(tensor de tensiones). Por ejemplo, si caliento una película de plástico, crearé una ampolla
(efecto de curvatura positiva)
También puedo impregnar el material con un producto que,
al secarse, provocará un estiramiento local (efecto de curvatura negativa).
Un calderero sabe cómo aplicar calentamiento y enfriamiento
para dar forma a una superficie metálica, por ejemplo, una lata que ha sufrido un accidente.
Tomemos un simple tubo metálico. Calentémoslo por un lado
y enfriémoslo por el lado opuesto. ¿Qué ocurrirá?
(40)
La tensión curvará el tubo, como se muestra en la figura (41).
(41)
Hemos introducido tensiones en el metal. Este es el
origen de la palabra tensor en matemáticas, resistencia de materiales y geometría.
El especialista en resistencia de materiales hablará en términos de tensor de tensiones. El geómetra invocará el tensor de curvatura. El especialista
de la relatividad general aplicará el principio básico:
contenido local de energía-materia
<-------> geometría local
Por supuesto, este contenido local de energía-materia determina
la geometría local de una hipersuperficie 4d. Pero la idea es similar.
¿Cómo escribir eso? Usando lo que los matemáticos llaman tensores.
Es difícil ir más lejos en esa dirección, sin
desarrollar un curso completo de geometría diferencial. La famosa
ecuación de Einstein es:
(42)
S = c
T
c es una simple constante (llamada
constante de Einstein). Depende de los valores de otras dos constantes:
-
La velocidad de la luz c.
-
La constante de gravitación G.
mediante:
(42bis)
S es un tensor geométrico y se hace cargo de las
características geométricas.
T es otro tensor, que describe el contenido local
del universo. En este tensor encontrará la densidad de materia r
y la presión p. Se expresan como densidades de energía.
r c2
es una densidad de energía
Pero p también es una densidad de energía. Normalmente se expresa una
presión como pascal por metro cuadrado. Pero un pascal por metro cuadrado también es
un julio por metro cúbico. Una presión es básicamente una densidad de energía volumétrica.
Los campos
r (x,y,z) y p
(x,y,z)
para un sistema estacionario, forman la entrada del problema.
A partir de estos campos escalares podemos construir el tensor T. Entonces la pregunta
se convierte en:
- ¿Cuál es la geometría que acompaña a tal campo tensorial
T (x,y,z), que satisface la ecuación (42)?
Dado el contenido local del Universo, el teórico
debe construir la geometría local de la hipersuperficie del espacio-tiempo. Pero, ¿para qué?
Aquí se usa la segunda hipótesis básica:
- Todos los objetos que componen nuestro universo siguen
las geodésicas de la hipersuperficie del espacio-tiempo.
Un objeto puede ser una estrella, un planeta, un átomo, un fotón, una
partícula elemental.
¿Acaso las partículas provienen de la ecuación de campo? En absoluto. La relatividad general las ignora completamente. Para el especialista de la relatividad
general, el universo es un continuo, nada más. Las funciones de entrada
r y p corresponden a
una descripción macroscópica del universo. Lo mismo para la salida: el sistema
de geodésicas. Para el teórico de la relatividad general, el Universo es una hipersuperficie,
nada más. Dice:
- Me dio funciones r (x,y,z)
y p (x,y,z). Le he
construido la hipersuperficie adecuada, que obedece la ecuación de campo. He
determinado todas las trayectorias posibles: el sistema de geodésicas. Pero soy completamente
incapaz de construirle partículas. Lo siento. Vea otro departamento.
En resumen: el puente entre la relatividad general y
el mundo de las partículas elementales todavía espera a su constructor.
Pero el astrónomo dirá:
- ¿A quién le importa? Se supone que los fotones siguen
geodésicas peculiares de esta hipersuperficie. Funciona: puedo observar cosas con
dispositivos ópticos. También se supone que los planetas siguen otro tipo de geodésicas.
También funciona. Puedo calcular sus trayectorias, predecir la precesión del perihelio de Mercurio. También está el efecto de lente gravitacional.
Tiene razón.
Pocas palabras sobre este efecto gravitacional. En primer lugar,
esta imagen del cono romo es una simple imagen didáctica. Por ejemplo, no puede
describir las trayectorias circulares de un planeta alrededor de una estrella:
(43)
Esto simplemente muestra el límite de las imágenes didácticas. Pero podemos
usar este último ejemplo para ilustrar el efecto de lente gravitacional, con
dos geodésicas:
(44)
Abajo, la representación mental, euclidiana del espacio.
Hay un efecto de espejismo. En lugar de un solo objeto, el observador ve dos "espejismos
gravitacionales".
