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Formalismo coordenado-invariante.
Esta es otra palabra clave de la relatividad general. Dijimos que el trabajo del cosmólogo era equivalente al que consiste en predecir la forma de un material, debido a la tensión interna.
Toma un objeto, cuya topología es la de la esfera. Es una esfera hecha de metal. Aquí de nuevo podríamos darle forma, con flujos de aire caliente y frío.
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Estos flujos crean tensión en el metal, lo que modifica su forma. Por supuesto, a medida que el calor se propaga en el metal, si uno deja de calentar y enfriar, la temperatura de la esfera vuelve a la uniformidad y su aspecto se vuelve regular de nuevo.
Creamos tensión en el material, lo que modifica su geometría.
Este campo de tensión puede describirse mediante un objeto matemático llamado tensor T.
La geometría del objeto podría calcularse a partir de una ecuación de campo, similar a la ecuación de Einstein.
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S = a T
donde a es una constante y S un tensor geométrico, que describe las características geométricas.
La mejor manera de "leer" la solución sería calcular el sistema geodésico. Conocemos las geodésicas de la esfera, pero las geodésicas de un huevo son diferentes. Para expresar estas geodésicas necesitamos un sistema de coordenadas. Para una esfera podemos usar un sistema (q,j):
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En este peculiar sistema de coordenadas la geodésica de una esfera puede expresarse en una forma peculiar. Por ejemplo las curvas:
q = constante (meridianos)
son geodésicas. Pero las curvas
j = constante (paralelos)
no son curvas geodésicas de esa superficie.
Podríamos definir un sistema similar de coordenadas sobre la superficie "huevo". Pero algo es evidente: El sistema geodésico existe independientemente de su representación matemática (en un dado y peculiar sistema de coordenadas).
El sistema geodésico es coordenado-invariante.
Otro ejemplo es mucho más simple. Considera las geodésicas de una hoja plana. Son líneas rectas. Podemos describir estas líneas rectas en coordenadas cartesianas:
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También podemos describir esta familia de geodésicas en coordenadas polares. Entonces las ecuaciones son completamente diferentes, pero se refieren a la misma familia de líneas rectas. Estas líneas rectas, geodésicas de la hoja plana, existen independientemente de las coordenadas elegidas. Son objetos coordenado-invariantes.
Las ecuaciones no son un atributo intrínseco.
¿Es algo que no cambia cuando pasamos de un sistema de coordenadas a otro?
Sí: el camino geodésico, entre dos puntos M1 y M2 no cambia. Lo mismo para cualquier línea trazada sobre la superficie. La superficie, los puntos, la curva que los une existen independientemente de las coordenadas elegidas. Lo mismo para la longitud del camino entre M1 y M2. Esto también es cierto para un arco geodésico, que es una peculiar línea que une dos puntos:
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Por cierto, este camino geodésico es también un camino extremo (por ejemplo el más corto, mostrado allí).
Esto es similar para la hipersuperficie del espacio-tiempo, que posee su sistema de geodésicas, también coordenado invariante. Sobre esta hipersuperficie existe una longitud s, que pertenece al objeto y es independiente del sistema de coordenadas elegido.
El punto difícil es que el espacio y el tiempo no son cantidades independientes. No vivimos en un espacio 3d, con puntos (x, y, z). Pertenecemos a una hipersuperficie 4d que está completamente descrita por su sistema de geodésicas. Considera dos puntos distintos de esta hipersuperficie M1 y M2.
Tales puntos pueden describirse en un dado sistema de cuatro coordenadas:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1)
M2 ---> (x2, y2, z2, t2)
Estos puntos se llaman eventos. Podemos calcular la curva geodésica que los une, si existe alguna. Tales eventos no son idénticos. Entre los dos podemos medir una distancia s, que es coordenado-invariante. Esta longitud se llama:
tiempo propio s
Supón que tú y yo usamos una nave espacial para viajar, desde un punto M1 a otro punto M2, situado en el espacio-tiempo.
s es la medida del tiempo en nuestro reloj de a bordo.
Argumentarás:
- Pero el espacio existe, ¿no?
- Ten cuidado. Esta definición de lo que llamamos espacio y "tiempo absoluto" corresponde a una elección arbitraria. Son solo una manera conveniente de "leer" la superficie, como cuando escribimos la ecuación de las líneas rectas, en una hoja plana, en dos ecuaciones diferentes. Lo único que no cambia, que es coordenado-invariante, es el intervalo de tiempo propio Dt entre dos eventos unidos por otro objeto coordenado invariante: una línea geodésica. El llamado "tiempo absoluto" t no es más que un marcador cronológico algo arbitrario.
Cambiando tu sistema de coordenadas, cambias la lectura de los eventos. En los artículos que presentaremos en este sitio web verás que esto es un problema real.
De todos modos, entiendes por qué los físicos y matemáticos han elegido un formalismo coordenado-invariante, basado en tensores.
Las ecuaciones tensoriales son coordenado-invariantes.
Este es el espíritu de la relatividad general. Pero, salvo usando hardware sofisticado, es difícil decirte más sobre ello.
