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El problema de las singularidades.
Sobre una esfera, si eliges cualquier sistema de coordenadas, no puedes evitar las singularidades (por ejemplo, dos singularidades polares):
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Fíjate en que puedes representar una esfera con una sola "singularidad polar".
Corta la esfera por esta primera familia de planos, que pasan por la misma recta:
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Luego introduce la segunda familia de planos, que también interseca la esfera.
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Si exceptuamos este desorden local, en el resto no hay problema.
Mirando la esfera desde el otro lado, obtienes esto:
(53)
Pero, en los puntos S, ¡los valores de a y b simplemente no están definidos!
Sin embargo, una esfera es básicamente una superficie regular. Gira un huevo en tu mano: no descubrirás ningún punto peculiar, ninguna singularidad intrínseca.
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Conclusión: estas singularidades son un artefacto debido a la elección de coordenadas.
Estas singularidades polares no son "reales", no son singularidades intrínsecas. Eliges un sistema de coordenadas. Entonces un punto arbitrario, o dos, se vuelven singulares. Las dos singularidades de una esfera representada: el polo norte y el polo sur, son una pura creación del sistema de coordenadas elegido, un artefacto.
