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Por el contrario, existen singularidades intrínsecas reales, sobre superficies.
Son verdaderas singularidades geométricas: (55)
(56)
(57)
Y así sucesivamente...
Por cierto, un pliegue es una región peculiar de una superficie donde
se concentra la curvatura lineal. En la figura (57), a la izquierda, tenemos una curvatura
lineal negativa. A la derecha, una curvatura lineal positiva.
Usamos en cada subfigura dos porciones de una esfera. El
objeto global tiene la misma topología que la esfera, lo que significa que su curvatura
angular total es 4p
.
Supongamos que el objeto de la izquierda se construyó con dos porciones
de esferas que contienen, cada una, una curvatura
angular de 3p.
3p +
3p = 6p
Esto es demasiado. Entonces la curvatura lineal (negativa)
debe compensarlo, para dar el valor final requerido 4p
:
Como conclusión, nuestro pliegue contiene una curvatura negativa
:
- 2p
.
Esta curvatura está distribuida uniformemente a lo largo de la curva
circular, a lo largo del pliegue.
Volvamos a las figuras (57). Hemos dibujado triángulos,
construidos con líneas geodésicas. Pero se puede cruzar un pliegue sin ningún problema
con una cinta adhesiva (estrecha). Usted sabe cómo calcular, cómo predecir la suma de
los tres ángulos del triángulo. Solo necesita comparar el área del
triángulo con el área de la esfera. El exceso de curvatura es:
(58)
Pero hay que tener en cuenta la curvatura (negativa o positiva)
contenida en la porción del pliegue, en el arco mn. Es:
(59)
Supongamos que una especie de lente, a la derecha de la figura (57), está
construida a partir de dos porciones de una esfera, cada una con una curvatura
angular p. Por lo tanto, si olvidamos el pliegue, este conjunto de dos porciones
de una esfera contiene una curvatura
angular 2p. Pero esta lente tiene una topología esferoidal. La contribución
de la curvatura angular debe ser 2p.
Entonces:
2p +
2p = 4p
( curvatura total de la esfera )
También puede predecir la suma de este extraño triángulo,
formado por tres líneas geodésicas. El arco mn contiene la curvatura angular
lineal:
(60)
Al medir la cantidad de curvatura angular contenida
en el pliegue, dentro del triángulo, se puede dimensionar la desviación de la suma
euclidiana, que es p .
Usted ve que puede manejar estos problemas de curvatura,
sobre superficies, con relativa facilidad.
Una superficie puede poseer puntos cónicos, o líneas de pliegue. Son
singularidades intrínsecas, no esas singularidades artificiales, debidas a alguna
elección de coordenadas. Note que podemos suavizar el pliegue. Entonces obtenemos un cacahuete
:
(61)
Esto es similar a suavizar la cumbre puntual de
un cono (curvatura angular concentrada), transformando el objeto en un cono
romo (curvatura angular desplegada sobre una porción de una esfera).
Supongamos que las dos porciones de esfera, arriba, en la figura (61)
representan 2/3 de una esfera, cada una, es decir una curvatura
(62)
La porción gris del "cacahuete" contiene curvatura negativa.
Precisamente:
(63)
