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Espacio representativo.

Hemos visto, en una sección anterior, que un cilindro
puede aplanarse. Ahora, toma un trozo de papel, una hoja plana. Es una superficie
euclidiana. Puedes dibujar geodésicas en ella. Ahora arrugala.
(64)

Si pudieras hacer rígida esta superficie arrugada y dibujar
geodésicas en ella, con cinta adhesiva, ¡te encontrarías de nuevo con el mismo sistema!
La superficie no había cambiado realmente. Si algún habitante vive en semejante "planilandia"
quizás no pueda darse cuenta del proceso de arrugado. Todo seguiría siendo normal
para él, como es la vida para él hoy: seguir las geodésicas de su superficie
espacio-tiempo bidimensional, por ejemplo.

Al arrugar la hoja, solo has modificado el sistema
representativo, la manera en que la superficie bidimensional está incrustada en el espacio
euclidiano tridimensional.

Una modificación más simple es transformar una hoja plana de
metal en una superficie corrugada. Véase la figura (65)
(65)

Hace muchos años estuve en un gran mercado de Addis Abeba, Etiopía.
Allí, el metal es escaso. Encuentras fábricas donde jóvenes transforman superficies
de hierro corrugado en placas planas, usando un simple martillo. Si uno de ellos
hubiera dibujado una geodésica antes de la operación, habríamos encontrado que el sistema
de geodésicas no habría cambiado.

Pero, a decir verdad, no estoy realmente seguro de que este
tipo de persona sepa qué es una geodésica, desde un punto de vista matemático, por supuesto.
Cualquier persona que construye cestas usa líneas geodésicas, naturalmente.

Recuerdo que fui profesor de cestería, en un campamento de vacaciones,
cerca de Burlington y del lago Champlain, Vermont... hace muchos años.

Ten en cuenta que los objetos geométricos tienen su propia existencia
y propiedades, que son independientes de la manera en que los figuras, en un espacio
de mayor número de dimensiones. Arrugada o no, una hoja es una hoja, es decir, una superficie
euclidiana.

Se supone que vivimos en una hipersuperficie tetradimensional. Todos
se supone que vivimos lo mismo, por cierto. Pero mi esposa Claire, que es una persona
muy encantadora, está convencida de que yo vivo en un espacio de dimensiones superiores (cinco,
piensa ella). Eso induce, a veces, algunas dificultades de comunicación cuando
estoy en algún lugar de mi quinta dimensión personal.

Pero, ¿viven realmente las mujeres en una hipersuperficie tetradimensional? A veces
soy escéptico al respecto, pero ese es otro tema.

Admite que vives en una hipersuperficie tetradimensional y sigue las geodésicas
de este espacio-tiempo, que sigues como un buey sigue su surco.

Ahora supón que eres Dios. Quieres una representación completa
de esta hipersuperficie tetradimensional. Entonces necesitas al menos una dimensión más. Personalmente,
creo que, si Dios existe, debe vivir en un hipermundo de diez dimensiones.
Los argumentos subsiguientes se desarrollarán en Física Geométrica B, y
provienen de la teoría de grupos.

¿Posee Dios una estructura de grupo?

Prácticamente, el especialista en relatividad general calcula
una solución de una ecuación de campo (la solución de Einstein). Luego examina
el sistema de geodésicas. Son "líneas rectas tetradimensionales". En el espacio-tiempo, mientras sigues
las geodésicas, el orden general es:

• ¡Ve recto! No gires a izquierda ni a derecha.

Obedecerás, simplemente porque no puedes hacer otra cosa. Girar
no tiene sentido, en el espacio-tiempo. Todo, todos "van recto".

Pero las cosas, los caminos, las trayectorias, parecen curvas a nuestros ojos
tridimensionales. Lo leemos en nuestra representación mental del espacio. Nos enfrentamos a la pared
de la caverna de Platón, mirando sombras tridimensionales danzantes.

Volvamos a nuestra imagen didáctica bidimensional, al cono truncado.
Se supone que figura el espacio en las cercanías de una concentración de masa (zona
gris). Asumimos que corresponde a un estado estacionario.

Podemos usar coordenadas esféricas (r, q
, j) como marcadores espaciales (en 3d). En 2d solo tenemos
dos: (r, q).

Entonces podemos proyectar la figura sobre un plano y usar
el mismo conjunto de coordenadas polares. Véase la siguiente figura.

(66)

Como se dijo arriba, la superficie del cono truncado es un modelo didáctico
burdo, que sugiere una solución peculiar de la ecuación de campo de Einstein

(67)

S = c T

construida en 1917 por Schwarzschild. Este
es un trabajo brillante e ingenioso. Solo para decir que, en aquella época, Albert no
era un genio solitario, perdido en una isla desierta. Mucha gente piensa que el
gran matemático alemán Hilbert inventó la "ecuación de Einstein". Algunos
otros han sugerido que la señora Einstein podría haber contribuido eficazmente
a la construcción de la relatividad especial, que proviene naturalmente de los trabajos
de Poincaré y Lorentz (si miras los trabajos de Einstein, verás
que rara vez menciona a otras personas).

La solución de Schwarzschild es un hito de la relatividad general.
Se usa para calcular las trayectorias relativistas de los planetas alrededor del
sol, evidenciando la precesión del perihelio de Mercurio.

Cualquiera diría inmediatamente:

• ¿Por qué Schwarzschild no calculó eso él mismo?

Había una muy buena razón para ello: estaba muerto.

Schwarzschild era un patriota e insistió en ir al frente,
en 1917. Allí fue gasificado y murió después. Einstein continuó el trabajo, que
se convirtió en "la teoría de Einstein".

Era una solución de estado estacionario. Más tarde Einstein intentó construir
un modelo del universo, donde la curvatura pudiera identificarse con el contenido
de energía-materia. Pero, en ese momento, nadie sabía que el universo no era estacionario. Albert
intentó construir un modelo de estado estacionario, pero las cosas no iban tan bien. Entonces visitó
a Elie Cartan, un gran matemático francés, quien recomendó añadir una constante
en la ecuación de campo, que es lo que Einstein hizo.

Entonces un piloto de planeador ruso llamado Friedmann inventó una solución
no estacionaria. Casi en el mismo período Edwin Hubble descubrió el corrimiento al rojo y
las características no estacionarias del Universo. Einstein quedó muy decepcionado y dijo:

• ¡Si hubiera sabido que el Universo no era estacionario, habría
  encontrado la solución antes que Friedmann!

Si, solían decir los lacedemonios.

Pero esa historia no terminó ahí. Inicialmente, Friedmann había
construido la solución cíclica, una de las tres que componen los "modelos de Friedmann".

Einstein guardó silencio durante años. Luego, tras la muerte de Friedmann,
publicó el "modelo de Einstein-de Sitter", "la solución parabólica de Friedmann".

Más tarde un joven investigador polaco llamado Kaluza presentó un artículo
al "profesor Einstein", quien se negó a publicarlo durante más de un año. Kaluza
se quejó a Einstein, quien respondió:

• Deberías mirar más de cerca esta teoría. Soy escéptico.....

Muchos años después, la idea de Kaluza (añadir una quinta dimensión al
espacio-tiempo) se convirtió en el punto de partida de trabajos avanzados (incluido el enfoque
de supercuerdas). Véase Física Geométrica B.

Bueno, Albert no era tan deportivo......

Volvamos al modelo tridimensional de estado estacionario correspondiente a
la geometría del espacio-tiempo alrededor del sol. El cálculo da geodésicas situadas
en planos. Si el efecto de curvatura es moderado, y la velocidad pequeña con
respecto a la velocidad de la luz c, su proyección, en un espacio-tiempo euclidiano
representativo, corresponde a trayectorias cuasi keplerianas y a las leyes de Kepler. Podemos
olvidar el tiempo y figurar estas geodésicas en planos, usando coordenadas polares.

r = f (q).

En la solución de Schwarzschild hay,
de hecho, dos "soluciones métricas" vinculadas, como se evoca en la figura (68). Dentro
del "cuerpo masivo" se supone que la densidad de masa r es
constante. Allí el tensor de energía-materia T es no nulo.
Pero, fuera, r y
T son nulos.

(68)

Esta es una geometría compuesta. En 3d la
densidad de masa muestra una discontinuidad abrupta en la superficie (supuesta una
esfera) de la "concentración de masa". Esto es similar a la discontinuidad
de la densidad de curvatura angular en la superficie (no nula en la zona gris,
nula fuera. El borde se convierte en una esfera S1, es decir, un... círculo).

En 4d el vínculo matemático puede construirse,
para asegurar la continuidad de las líneas geodésicas. Esto es similar a
la porción de enlace de una porción de esfera de un posicono.

Cuando la masa se vuelve importante (lo que
no puede describirse con nuestro burdo modelo didáctico bidimensional) los caminos cerrados ya no
son elípticos.

Véase la figura (69). Este dibujo corresponde
a la trayectoria de una nave espacial alrededor de una estrella de neutrones.

La trayectoria de Mercurio alrededor del sol
es similar, pero la precesión del perihelio de los caminos elípticos es de 0,15
° por siglo.

(69)

Algún día incluiremos las fórmulas y el
programa que hace posible jugar con ese problema. No es muy difícil.

Alguna información matemática al final de esta página
y en la siguiente, si quieres puedes ir directamente
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