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Contexto geométrico.

Una esfera es un objeto geométrico bidimensional. Necesitamos dos
cantidades, dos números, dos escalares, para localizar un punto en ella.

Una esfera es una superficie que posee una topología. Su topología es diferente de
la del toro.

Ambas poseen sistemas geodésicos. Como se señaló en una sección
precedente, podemos figurar dos puntos distintos M1 y M2 sobre una esfera y una curva
que los une. Entonces podemos medir la longitud a lo largo de este peculiar camino.
Es una cantidad invariante bajo coordenadas. Una esfera S2 existe independientemente de
cualquier espacio representativo tridimensional. Pero podemos figurarla en nuestro familiar espacio euclidiano
tridimensional, en el que se supone que vivimos. Entonces podemos dar un centro a esta
esfera y unir todos sus puntos a él. Véase la figura (116). Cada punto corresponde
a dos ángulos: q y
j.
(116)

Hemos practicado un agujero en la esfera para mostrar
los vectores OM, donde O es el centro y M un punto de la esfera.

Ahora, la figura (117) conserva los vectores y olvida la esfera.

(117)

Estas semirrectas son infinitas, pero las hemos figurado
cortadas, a una longitud dada, correspondiente al radio R de nuestra esfera.
Cada recta corresponde a un par ( q
, j ).
La estructura métrica ha desaparecido. Sin geodésicas, sin longitud. ¿Qué queda?

Cualquiera de esas semirrectas tiene vecinas, que
forman su vecindad. Cada semirrecta podría figurarse como encerrada
en una sucesión de conos ( figura (118) ) .

(118)

Alrededor de cualquier recta podemos poner tantas líneas de conos como queramos.
Entre dos de estos conos siempre podemos poner otro. Esto sugiere intuitivamente
el concepto de diferenciabilidad. En tal objeto geométrico no
hay discontinuidad.

Ahora, olvidemos la esfera y tomemos una superficie plana. Es
un conjunto de puntos. Cualquiera que sea el sistema de coordenadas que elija, puedo definir
los puntos con dos cantidades: (x,y), (r,q),
y así sucesivamente.

Un par de números reales. Estos se toman en R2, es decir,
en el conjunto de los números reales, como (3,8705 , - 17,56).

Cualquier par de números reales ( x ; y ) posee un número infinito
de vecinos ( x + Dx
; y + D y ) .

Estos objetos "premétricos" son llamados por los matemáticos
variedades.

Es bastante difícil pensar en tal medio "flexible".
En (119) hemos figurado una superficie rígida y plana, con propiedades métricas y,
debajo, la sombra de sus puntos.

(119)

Una sombra no tiene forma propia ni extensión. Depende de
la pantalla y de la producción de rayos de luz. En la figura (120) sugerimos la relatividad
de la sombra con respecto al objeto.

(120)

Estas "líneas paralelas" son similares a aquellos rayos que introdujimos,
para unir los puntos de una esfera a su centro. Aquí los puntos del plano
están "unidos" a una "fuente" que está en el infinito.

Abandonemos esta última idea de líneas rectas. Consideremos un haz
de espaguetis cocidos ( si no lo están, deberían ser rígidos y quebradizos ).
Podemos doblarlo. Pero imponemos a los espaguetis mantenerse unidos. Su
vecindad no debe modificarse.

(121)

Todo esto es muy tosco, lo sé, y no del todo riguroso.
Solo intento sugerir al lector qué puede ser una variedad, un objeto
geométrico sin métrica, donde la propiedad principal es que cualquier punto tiene vecinos.

Una variedad es un conjunto de puntos m
. Puedo imaginar que asocio cualquier punto de una variedad a un par (M1 , M2)
de puntos, que pertenecen a superficies reales, que poseen propiedades métricas, longitud,
y así sucesivamente....

Llamo a la variedad n-dimensional variedad-esqueleto
y a las superficies n-dimensionales asociadas simplemente pliegues. Entonces construyo el

recubrimiento doble de una variedad.

En la figura (122) el recubrimiento doble de una variedad m2
(dos dimensiones).

(122)

En (122) he figurado pliegues euclidianos idénticos y paralelos ( planos ) con las mismas métricas. Pero puedo construir la figura (123) :

Llamaremos a M y M* puntos conjugados. Construir estos
dos pliegues a partir de una "variedad esqueleto" tiene un significado definido: a cualquier punto
M del pliegue F podemos asociar uno y solo un punto conjugado M*. Hay
una aplicación punto a punto. Entonces podemos olvidar la variedad-esqueleto.

A la vecindad de cualquier punto del pliegue F corresponde
la vecindad de su punto conjugado M*. Véase la figura (124). Esto significa que
a cualquier región regular de F corresponde una región regular conjugada que pertenece
a F*.
(124)

Esto muestra en particular que los puntos conjugados M
y M* se describen mediante el mismo conjunto de coordenadas.