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Curvaturas conjugadas.

¿Cómo podemos entender los espacios tridimensionales, con curvatura local positiva o negativa?

Empecemos con superficies bidimensionales. Consideremos una esfera y fijemos un clavo en algún lugar de ella, como se muestra en la figura (125). Fijemos una cuerda, cuya longitud es L, uniendo el clavo y un lápiz. Podemos usar esto para dibujar un círculo, un paralelo de la esfera. Un paralelo de una esfera es el conjunto de los puntos que se encuentran a la misma distancia L de un punto dado S.

Podemos realizar operaciones similares (figuras (125):

• Sobre una silla de montar

• Sobre un plano.
  (125)

Sobre la superficie plana el perímetro es 2 p L mientras que la superficie del disco es p L2.

Sobre la esfera el perímetro y el área del disco son menores. Sobre la silla de montar, por el contrario, son mayores.

Consideremos una esfera y un paralelo que se identifica con su ecuador. Véase la figura (126). Los valores corresponden a la figura (126)

(126)

El área del disco es 3,875 veces mayor que la porción correspondiente (gris) de la esfera. Su perímetro es 1,57 veces más largo que la longitud del ecuador.

Pruebas similares mostrarían la curvatura negativa de la silla de montar. Si dibujamos una curva cerrada, conjunto de puntos a la misma distancia L de un punto dado, sobre una silla de montar, la superficie de este disco de curvatura negativa es mayor que la superficie de un disco plano p L2. De manera similar, el perímetro del disco de curvatura negativa es mayor que el del disco plano: 2 p L.

La geometría es una ciencia para ciegos. Los geómetras intentan construir pruebas que los habitantes de un espacio dado podrían realizar para descubrir por sí mismos sus propiedades geométricas. A partir de las figuras precedentes, los habitantes de una superficie bidimensional, incapaces de verla desde un punto de vista externo (pues viven en ella), podrían descubrir, mediante mediciones de área y longitud, si la porción de superficie en la que viven posee una curvatura local positiva, una curvatura local negativa o una curvatura local nula (espacio euclidiano).

Nótese que hay superficies cuya curvatura local puede ser positiva, nula o negativa. Ejemplo: un toro.

(126ter)

Métodos similares se aplican a espacios tridimensionales. Elíjase un punto O, en algún lugar. Tómese una cuerda, un "lápiz", y úsese para dibujar el conjunto de los puntos situados a una distancia dada L del punto considerado. Se obtiene una esfera y se puede medir su área. Si esta superficie se ha construido en un espacio tridimensional euclidiano, esta área será: 4 p L2.

Si esta área resulta menor, significa que este espacio tridimensional no es euclidiano. Es un espacio tridimensional riemanniano, con curvatura positiva. Si medimos el volumen lo encontraremos menor que:

(127)

La situación se invertirá si tratamos con un espacio tridimensional de curvatura negativa. El área de la esfera, considerada como el conjunto de puntos situados a una distancia dada L de un punto fijo O, será mayor que 4 p L2. El volumen, dentro de esa superficie cerrada, será mayor que (127).

La cosmología no se funda en espacios tridimensionales simples, sino en hipersuperficies cuatridimensionales (con "signatura hiperbólica"), de modo que tal presentación es limitada. Debemos considerarla como un modelo didáctico burdo.

La curvatura escalar de Riemann de un espacio n-dimensional es algo diferente.

En nuestro presente modelo cosmológico, supondremos que la curvatura escalar de Riemann local, en puntos conjugados (M, M*), son opuestas: (127bis)

R* = - R

El especialista encontrará más detalles en el artículo:

J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost matter astrophysics.
2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics
A, 5, marzo de 1998.

A continuación, una útil imagen didáctica bidimensional, que corresponde a la figura 39.

(128)

Arriba: un posicono suavizado. Curvatura local (angular) nula en la porción de posicono. Densidad de curvatura (angular) positiva constante en la porción (gris) de una esfera.

Abajo: un "negacono suavizado". Densidad de curvatura local (angular) nula en la porción de negacono que rodea la silla de montar. Densidad de curvatura (angular) negativa constante en la porción de la silla de montar, frente a la porción de una esfera.

Las curvaturas están conjugadas. Cara a cara, con correspondencia punto a punto, porciones de curvatura local nula de posicono y negacono.

Cara a cara, con correspondencia punto a punto, una superficie de curvatura positiva constante (una porción de una esfera) y una superficie de curvatura negativa (silla de montar). Las densidades de curvatura son iguales y opuestas. Los bordes circulares están enlazados, punto a punto.

Esta es una imagen didáctica de nuestro modelo cosmológico. Para más detalles matemáticos, véase:
J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost-matter astrophysics.
1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation.
Geometrical Physics A, 4, marzo de 1998.