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Noción de geodésica.
...En todo lo que sigue solo trataremos superficies de dos dimensiones. Sería preferible que el lector se dotara de un poco de material antes de comenzar a leer. De hecho, hay cosas que "se entienden con las manos", realizando experimentos. Por ello se necesita:
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Hojas de cartulina, o papel un poco grueso.
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Una cinta adhesiva, preferiblemente de color.
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Tijeras.
...En el comercio se encuentran cintas de "cinta de tela" especialmente útiles, que tienen la ventaja de poder desenrollarse en tiras de anchuras arbitrarias.
...Tome una superficie, por ejemplo la carrocería de su coche. Puede pegar una cinta sobre ella, asegurándose de que no se arrugue y que se adhiera completamente a su soporte. Al hacer esto, trazará geodésicas de la "superficie-coche".
...Si realiza esta operación sobre una superficie plana, obtendrá... rectas. Las rectas son las geodésicas del plano.
...Con tres geodésicas podrá trazar un triángulo sobre este plano, "superficie euclidiana", cuya suma de ángulos valdrá 180°.
Los posicónes.
Ahora construyamos un "posicón". Para ello, realizar una corte de un ángulo q y volver a unir la superficie como se indica.
...Trace dos triángulos geodésicos, con la cinta adhesiva, uno siendo exterior al vértice S de este posicón y el otro conteniendo este vértice S. Mida la suma de los ángulos del triángulo. Se observa entonces que la suma de los ángulos del triángulo que no contiene el vértice sigue siendo igual a 180°, mientras que la del otro triángulo vale 180°+q.
Para verificarlo bastaría con abrir de nuevo este "posicón" y colocarlo plano. Entonces se obtendría esto:
...Entonces se puede verificar fácilmente que las rectas AH y H'B forman un ángulo q. Como se podría constatar "experimentalmente", las geodésicas del cono, al colocarse planas, se convierten en rectas del plano, lo que significa simplemente que el cono es una superficie desarrollable. Lo mismo ocurre con un cilindro.
...Una superficie desarrollable también es una superficie que se puede rodar sobre un plano (con ciertas precauciones, para las superficies desarrollables con curvatura negativa, como se verá más adelante).
...Si traza una geodésica sobre un cono o un cilindro, con tinta grasa, puede utilizar esta "matriz" para "imprimir" sobre un plano, obteniendo así una recta. Y, a la inversa, si traza una recta con tinta grasa sobre un plano y la "imprime" sobre un cono o un cilindro, haciendo rodar estos objetos sobre el plano, la impresión da lugar a... geodésicas.
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