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La silla de montar.
...Se puede (al menos mentalmente) fabricar un gran número de mini-negaconos y unirlos entre sí. Si los vértices se distribuyen de manera aproximadamente regular sobre esta superficie, se obtendrá un elemento de superficie con densidad de curvatura negativa constante. Pero no será como con la esfera. Esta superficie no se cerrará.
...Imaginemos que hayamos fabricado una porción de superficie con curvatura negativa constante (diremos con curvatura negativa constante). Podemos tomar un punto cualquiera, un clavo, una cuerda, y trazar un contorno circular, obteniendo lo que se llama una silla de montar (superficie con curvatura negativa constante).
El negacóno redondeado.
...Más arriba, habíamos fabricado un cono redondeado (un "posicóno redondeado") partiendo de una calota esférica y uniendo a ella un tronco de cono. Hasta habíamos encontrado cómo hacerlo para que no hubiera discontinuidad en el plano tangente. Era necesario que el ángulo empleado para fabricar el cono del cual se extrajo este tronco de posicóno fuera igual a la cantidad de curvatura angular contenida en la calota esférica.
...Hay una manera de medir la cantidad de curvatura angular (negativa) contenida en una silla de montar, comparando el perímetro y el radio, operación que rara vez se realiza en las sillas. Supongamos que la conocemos. Podemos fabricar el tronco de negacóno en consecuencia.
Nota: El negacóno, al igual que el cono, es una superficie desarrollable. Esto quiere decir que se puede "aplicar" sobre un plano. Pero la operación parece más delicada. Es difícil imaginar cómo se podría hacer rodar fácilmente un negacóno sobre un plano rígido.
...En lugar de una operación de rodadura, es preferible considerar una operación de aplicación, o más claramente, de impresión. ¿Qué significa imprimir? Es aplicar una superficie portadora de relieve con tinta sobre otra superficie.
...En la época de Gutemberg, se colocaba un plano sobre otro plano. Cuando se imprime un diseño sobre un tejido, se hace rodar un cilindro sobre él. Se hace pasar una cinta de papel entre dos cilindros, en una rotativa, e imprimimos sobre el soporte el diseño en relieve portado por uno de ellos.
...Finalmente, poco importa la manera en que se coloque la hoja sobre la matriz, mientras que esta sea una superficie desarrollable. En lugar de hacer rodar un cono sobre un plano rígido, podríamos tan bien colocar el papel sobre el cono, a mano, poco a poco, evitando que resbale. Si colocáramos sobre el cono signos en relieve, y estos, con tinta, se imprimieran sobre la hoja, al final de la operación obtendríamos esto:
...Podríamos proceder de la misma forma colocando una hoja de papel, objeto flexible, sobre un negacóno portador de relieves con tinta. Obtendríamos entonces esto (habiendo reproducido sobre la hoja todos los diseños).
Juego sencillo para ilustrar que el negacóno es efectivamente una superficie desarrollable.
Sobre un objeto así, como sobre el posicóno redondeado, podemos trazar geodésicas y luego proyectarlas sobre un plano.
...La proyección plana nos indica cómo percibiríamos las trayectorias según nuestra visión euclidiana del mundo. El objeto equivalente a nuestra silla de montar produciría trayectorias cuya forma evocaría una fuerza gravitatoria repulsiva.
...Se propone llamar a esta extraña superficie un "negacóno redondeado". Es solo una palabra, pero hay que encontrar alguna. Habíamos visto antes que se puede pasar continuamente del cono redondeado (posicóno) al cono puntiagudo, y la operación inversa consiste en redondear el objeto.
...Lo mismo ocurre con el paso continuo del "negacóno redondeado" al negacóno que lleva un punto de curvatura (negativa) concentrada.
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