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Geometrías conjugadas.
...Vamos a asociar entonces un posicón con borde redondeado y un "négacón con borde redondeado", que posean las mismas cantidades de curvatura, pero de signo opuesto: +q y -q. Podemos colocarlos frente a frente (creando al mismo tiempo una "aplicación punto a punto": biunívoca, inyectiva). Entonces hay dos hojas. Llamémoslas F y F*. A cada punto de F corresponde un punto de F*.
...Asegurémonos de que los contornos circulares de las "partes redondeadas", portadoras de curvatura (positiva en una hoja, negativa en la otra), se correspondan punto a punto. Lo ilustramos proyectando todo sobre un plano. Obtenemos dos superficies que tienen curvaturas conjugadas.
...Los flancos cónicos son "no curvos", son elementos de superficies euclidianas. Diremos que en todo punto de estas superficies la curvatura local es nula. La cúpula esférica y la silla de montar se corresponden punto a punto. Sus curvaturas son opuestas.
La Relatividad General.
...El punto de partida es la idea de que la geometría del cosmos está determinada por su contenido en "energía-materia". Obsérvese que se emplea el término energía-materia y no solo materia, lo cual muestra claramente que todo contenido cósmico influye sobre la geometría, incluso la radiación, los fotones (o los neutrinos). Hemos visto anteriormente que un fotón crea una pequeña curvatura positiva en el espacio.
...Vamos a razonar primero en régimen estacionario. Una superficie plana, libre, es una superficie donde la tensión es nula. Podemos modificar su geometría creando tensiones, positivas o negativas (el signo es una cuestión de convenciones). Si, por ejemplo, caliento una película plástica, podré hacer aparecer una protuberancia, es decir, una región con curvatura positiva.
...También puedo poner sobre la superficie de una hoja de papel un producto que, al secarse, se contraerá. La tensión hará aparecer una región con curvatura negativa.
...Un herrero que trabaja el metal sabe jugar con estas tensiones para deformar una lámina. Tomemos, por ejemplo, un tubo metálico. Caliento un lado y enfrío el otro. ¿Qué ocurrirá?
El tubo se curvará, la parte calentada se dilatará y la parte enfriada se contraerá.
...De este modo, hemos creado tensiones en el metal. Es la origen de la palabra tensor, en matemáticas y geometría. El especialista en resistencia de materiales hablará de tensor de tensiones. El geómetra hablará de tensor de curvatura.
La pequeña experiencia anterior ilustra la idea:
Contenido local en energía -----> geometría local
...En Relatividad General, se hace lo mismo. La diferencia es que este contenido local en energía-materia determina la geometría de una hipersuperficie de cuatro dimensiones y no, como aquí, la geometría de una superficie de dos dimensiones. Pero la idea es similar.
...El matemático utilizará entonces una escritura tensorial. No se puede decir mucho más aquí para un no matemático. Pero el tensor de Einstein S (usaremos letras en negrita) corresponde al aspecto geometría. En la ecuación de Einstein se identifica con otro tensor T, que describe el contenido en energía-materia, hasta una constante multiplicativa, la "constante de Einstein c".
Por tanto, la famosa ecuación de Einstein se escribe:
S = c T
...En el tensor T intervienen la densidad volumétrica r y la presión p (en realidad el tensor T más general es más complejo, pero nos contentaremos con esta expresión habitual). En una configuración estacionaria se dará una cierta distribución de densidad y presión r(x,y,z), p(x,y,z). Con esto se sabe construir el tensor T, que contiene así todas las datos del problema. La pregunta es entonces: "¿cuál es la geometría que corresponde a este tensor T, satisfaciendo la ecuación anterior?".
...En otras palabras, el físico, conociendo el contenido local del universo, busca determinar la geometría de la hipersuperficie universal.
Decir geometría equivale a decir geodésicas. Aquí interviene la segunda hipótesis de la Relatividad General:
Se supone que los objetos que se desplazan en el universo
siguen geodésicas de la hipersuperficie espacio-tiempo.
Por objeto se entenderán partículas (partículas llamadas elementales, fotones, neutrinos) pero también planetas, estrellas, etc.
A este punto, una observación: ¿dónde están las partículas en todo esto?
...Respuesta: el especialista en Relatividad General trabaja a escala macroscópica. Las funciones de entrada del problema, la densidad volumétrica r y la presión p, corresponden a una descripción macroscópica del contenido cósmico. Lo mismo ocurre con la "salida". Y el geómetra añade:
- Me ha dado funciones r(x,y,z) y p(x,y,z), le he construido la hipersuperficie correspondiente, con sus familias de geodésicas. Pero no puedo hacer más. En particular, no soy capaz de fabricar partículas, átomos, etc. Para eso, véase otro servicio...
En resumen: el puente entre la Relatividad General y la física de partículas aún no está construido.
Pero el astrónomo se dirá:
- ¿Qué importa? Esta hipótesis según la cual los fotones siguen ciertas geodésicas de esta hipersuperficie funciona. La prueba: puedo hacer observaciones. Si supongo que los planetas, asimilados a masas puntuales, también siguen geodésicas de esta hipersuperficie, puedo construir sus trayectorias. También hay los efectos de lente gravitacional...
Tiene razón.
...Estos efectos de lente gravitacional, digamos unas palabras. Por supuesto, esta imagen del cono con borde redondeado es solo una imagen didáctica. Un planeta que orbita circularmente alrededor de una estrella también sigue una geodésica del espacio-tiempo. Pero un círculo trazado sobre un cono con borde redondeado no es una geodésica:
Esto muestra simplemente los límites de las imágenes didácticas, aunque sean geométricas.
...Los fotones siguen efectivamente geodésicas de la hipersuperficie espacio-tiempo. Podremos utilizar esta imagen del cono con borde redondeado para ilustrarlo. Los rayos luminosos pueden pasar a ambos lados de un objeto masivo, y luego converger hacia el observador. Si proyectamos estas geodésicas, obtendremos un efecto de espejismo: el observador tendrá la impresión de que hay dos fuentes en lugar de una:
../../../bons_commande/bon_global.htm
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