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Invariancia bajo cambio de coordenadas.
...Éste es un concepto clave de la Relatividad General, que no es fácil de presentar. Hemos dicho que buscar una "solución cosmológica", estacionaria o no estacionaria, equivale a construir una hipersuperficie de cuatro dimensiones que sea "solución de la ecuación de campo".
...Por ejemplo, tomemos un objeto de chapa que tenga la topología de una esfera. Es "una esfera de chapa". Una vez más, es fácil imaginar que se pueda deformar esta superficie calentando y enfriando localmente. Por ejemplo, calentando en un punto y enfriando la región antípoda transformaríamos esta esfera en un huevo. Un huevo es un objeto que tiene la topología de una esfera, pero que es una superficie con curvatura variable.
...Al calentar en un lugar y enfriar en otro, se crearán tensiones en el metal. Por supuesto, como este material es conductor, si dejáramos de calentar y enfriar, la temperatura se homogeneizaría y el objeto recuperaría su forma esférica. Lo importante es que se logre crear una situación estacionaria con un campo de temperatura no uniforme. Este campo genera tensiones, y podríamos concretizar estas tensiones en forma de un objeto matemático T llamado tensor.
Algo describe la geometría del objeto. Esto se llama una métrica. A partir de este segundo objeto matemático se puede:
- Calcular el tensor geométrico S
- Calcular las geodésicas de la superficie.
La geometría de esta superficie podría calcularse a partir de una ecuación análoga a la ecuación de Einstein, del estilo:
S = a T
donde a es una constante. Conociendo a priori el campo de temperatura en la chapa, es decir, el tensor de tensiones, se podría deducir su geometría. La mejor manera de "leer" esta geometría sería analizar entonces el sistema de geodésicas. Conocemos las de la esfera (sus "círculos máximos"). Las geodésicas de un huevo son diferentes.
...Para describir estas geodésicas necesitaremos definir un sistema de coordenadas sobre la superficie. Para la esfera, podríamos tomar el clásico sistema azimutal-altitudinal.
...En este sistema de coordenadas particular, las geodésicas de la esfera corresponderían a ciertas ecuaciones.
En esta esfera, las curvas q = constante representan la familia de geodésicas que pasan por dos puntos. Por el contrario, las curvas j = constante (paralelos) no son geodésicas de la superficie.
...También podríamos definir un sistema de coordenadas análogo y escribir las ecuaciones de las geodésicas de la superficie "huevo". Pero inmediatamente notamos una cosa esencial: las geodésicas de la superficie son independientes de las coordenadas que elijamos para describirlas, al igual que los puntos de una esfera o de un huevo existen independientemente del sistema de coordenadas utilizado para localizarlos.
...De igual manera, en un plano, podemos representar puntos en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. Las rectas del plano son geodésicas.
Una recta puede describirse en dos sistemas de coordenadas:
...Se trata de la misma geodésica, con dos descripciones totalmente diferentes. Las rectas del plano existen independientemente de cómo las describimos, del uso de coordenadas. Y se puede imaginar... una infinidad.
...Entonces, ¿qué es intrínseco? Respuesta: la longitud s medida sobre una recta (o a lo largo de cualquier curva arbitraria). Entre dos puntos M1 y M2 de una superficie, el trayecto de longitud mínima es una geodésica.
...De igual manera, la distancia que separa dos puntos, sobre una geodésica de los objetos "esfera" o "huevo", es también una magnitud que es independiente del sistema de coordenadas elegido. Si tomamos dos puntos M1 y M2 sobre una superficie y trazamos el arco geodésico que los une, la longitud s medida a lo largo de este arco será la misma, sin importar el sistema de coordenadas utilizado para localizar los puntos.
...Lo mismo ocurre con la hipersuperficie de cuatro dimensiones que llamamos "universo". Tiene su propio sistema de geodésicas, también invariante bajo cambio de coordenadas. No habitamos en un espacio (x, y, z, t) con coordenadas de posición y una coordenada de tiempo, sino en una hipersuperficie cuatridimensional que puede describirse completamente por su red de geodésicas. Sobre estas geodésicas existe una longitud s que también es invariante bajo cambio de coordenadas. Los puntos de esta hipersuperficie ya no son puntos del espacio, sino puntos de una hipersuperficie espacio-tiempo. Los llamamos eventos. Dos eventos distintos están separados por algo que llamamos s. Pero, ¿qué es esto?
Es el tiempo propio.
...Una trayectoria geodésica en esta hipersuperficie espacio-tiempo separa dos eventos M1 y M2. Todo lo que puedo decir es que si hubiera utilizado una nave para realizar este recorrido en el espacio-tiempo, habría transcurrido un intervalo de tiempo s en mi reloj de a bordo.
Una elección de coordenadas consiste en localizar los puntos del espacio-tiempo mediante coordenadas espaciales (x, y, z) y una coordenada de tiempo t. Pero como esta elección es arbitraria, este espacio y este tiempo no tienen existencia intrínseca. Son simplemente formas de "leer" la superficie, de recorrerla. La única restricción: según la hipótesis asumida, solo podemos desplazarnos a lo largo de geodésicas, y sobre ellas, lo único fiable al que podemos aferrarnos es el "tiempo propio transcurrido" s, y no este tiempo t, que es simplemente un sistema de referencia cronológico (marcador cronológico).
Para cada elección del sistema de coordenadas, un sistema diferente de lectura de eventos, de fenómenos.
...Los físicos, por tanto, buscaron un formalismo independiente de la elección de coordenadas. Ésa es la esencia del formalismo tensorial. No podemos decir más sobre este tema sin entrar en detalles técnicos relativamente complejos.
El problema de las singularidades.
En una esfera, la elección clásica de coordenadas angulares introduce dos singularidades polares.
Es imposible cartografiar una esfera sin introducir este tipo de singularidades polares.
...Cabe destacar que se puede cartografiar una esfera con una única singularidad. Se crea en la esfera una primera familia de curvas (círculos) cortándola con planos, como se muestra a continuación:
Luego una segunda familia:
Fuera de esta única singularidad, no hay problema. Si miráramos la esfera desde el otro lado, veríamos esto:
...Fuera de la única singularidad S, se pueden localizar los puntos sin dificultad. Pero los valores de los parámetros a y b que definen esta singularidad de malla S son... arbitrarios...
...Sin embargo, una esfera no es geométricamente, intrínsecamente singular. Gire una bola de billar o un huevo en todas direcciones, no descubrirá ningún punto singular.
Estas singularidades han sido creadas por la elección de coordenadas.
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