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Sin embargo, existirán verdaderas singularidades geométricas:
Etc...
...Al pasar, el pliegue es una región particular de la superficie que contiene curvatura lineal, negativa a la izquierda y positiva a la derecha. A propósito, se han fabricado estas dos superficies con casquetes esféricos. El objeto final tiene la topología de la esfera. Por lo tanto, posee una curvatura total igual a 4π. Supongamos que el objeto de la izquierda se haya construido con dos veces tres cuartos de esfera (partiendo de esferas del mismo radio). Cada uno de estos componentes corresponde, por tanto, a una curvatura de 3π. Total: 6π. Sabemos entonces inmediatamente cuánta curvatura (negativa) contiene el pliegue: -2π. Esta se distribuye uniformemente a lo largo del pliegue circular. Por lo tanto, podemos calcular la suma de los ángulos del triángulo ABC. Al medir su superficie, conocemos primero la cantidad de curvatura (angular) que contiene. Esta es:
Hay que restar la cantidad de curvatura contenida en el arco mn. Esta es:
La lente también tiene la topología de la esfera. Por lo tanto, el pliegue contiene una curvatura lineal positiva igual a 2π.
...También se puede calcular la suma de los ángulos del extraño triángulo ABC, formado por tres líneas geodésicas. Las geodésicas atraviesan sin problemas los pliegues. Solo tienen que hacer la experiencia con su cinta adhesiva.
El arco mn contiene la curvatura lineal: Supongamos que la especie de lente indicada anteriormente se hubiera fabricado con dos cuartos de esfera idénticos. Cada uno contiene una curvatura igual a π. Por lo tanto, en la superficie (sin el pliegue) contiene una curvatura de 2π.
...Al contar la curvatura angular contenida en el triángulo ABC y en el arco-pliegue, podemos conocer la desviación positiva respecto a la suma euclidiana π.
Vemos que es bastante fácil manejar estos problemas de curvatura para las superficies.
...Una superficie puede tener puntos singulares o pliegues. En este caso se trata de singularidades verdaderamente geométricas, intrínsecas, y no derivadas de una elección de coordenadas.
...Al pasar, observemos que esta curvatura lineal podría distribuirse sobre una porción de superficie. Por ejemplo, para la figura de la izquierda, obtendríamos:
...Es un procedimiento análogo al presentado anteriormente, donde la curvatura concentrada en el vértice de un cono se distribuyó sobre un casquete esférico (cono redondeado). Si los dos casquetes esféricos que componen la superficie anterior representan, por ejemplo, cada uno dos tercios de esfera, con una curvatura
La superficie grisácea contendrá una curvatura negativa C, distribuida uniformemente, tal que:
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