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- *Espacio de representación.
...Se había visto que un cilindro era una superficie desarrollable. Ahora bien, toma una hoja de papel. Es una superficie plana, euclidiana. Sus geodésicas son rectas. Dibuja algunas rectas sobre esta hoja, luego arrugala.
...Si pudieras rigidizar esta superficie plana arrugada, te darías cuenta de que esta operación no ha modificado en absoluto la distribución de sus geodésicas, que podrías trazar nuevamente con tu cinta adhesiva. Simplemente has jugado con el modo de representación de este plano en su espacio de inmersión tridimensional.
Una forma menos complicada de proceder consiste en transformar una chapa en...chapa ondulada:
Geodésicas: sin cambios.
...Los objetos geométricos existen independientemente de la forma en que los representamos, independientemente de su espacio de representación.
...Se supone que habitamos en una "hipersuperficie cuatridimensional": el espacio-tiempo. La Relatividad General consiste en intentar construir su geometría, como solución de una ecuación de campo, y luego "leer" esta geometría, analizando las geodésicas de la hipersuperficie. Es evidente que ya no se trata entonces de espacio de representación. Para hacerlo se necesitaría una visión en cinco dimensiones, que no poseemos.
...En la práctica, utilizamos coordenadas que son las del espacio euclidiano, de proyección. Imaginemos que buscamos una solución geométrica adecuada para describir el espacio-tiempo cerca de un cuerpo masivo y dentro de él. Supondremos que el sistema posee simetría esférica. Además, supondremos que este sistema es estacionario (o casi estacionario).
...Entonces utilizaremos las coordenadas esféricas (r, q, j). En dos dimensiones, solo tendremos dos y nuestra simetría será circular. Utilizaremos entonces el sistema de coordenadas polares del plano:
...Este modelo del cuerpo abombado es una imagen didáctica en 2D de una solución estacionaria que efectivamente existe en la Relatividad General y que fue inventada por el austríaco Schwarzschild en 1917 como solución particular de la "ecuación de Einstein":
S = c T
ya presentada anteriormente. Esta solución es inteligente y sutil. Desde el punto de vista del cálculo, no es sencilla de construir. Esta precisión para intentar disipar un mito: el de un Einstein, genio aislado en su tiempo, rodeado de ignorantes.
...A partir de esta solución se demuestra que existen, alrededor de una masa con simetría esférica, geodésicas planas, situadas en planos, y se sabe calcular su forma: r = f(q). Estas trayectorias (o al menos su proyección en nuestro espacio mental de representación, euclidiano) son "casi keplerianas" y las leyes de Kepler aparecen entonces como una aproximación, cuando la masa que crea esta geometría (en la visión newtoniana, esta "fuerza") permanece moderada, es decir, cuando la curvatura local, en esta masa, sigue siendo débil.
...Esta solución es uno de los ejes de la Relatividad General y, aunque no pueda ser evocada mediante simples imágenes didácticas como las que ofrecemos al lector, es ella quien permite predecir y calcular, por ejemplo, el avance del perihelio de Mercurio. Einstein utilizó esta solución para explicar este efecto, ya conocido, y obtuvo al mismo tiempo todos los laureles de lo que desde entonces se llamó "la teoría de Einstein". ¿Por qué Schwarzschild no explotó él mismo su descubrimiento? Porque insistió en unirse y partir a las trincheras, donde fue envenenado con gas y murió poco después.
...De hecho, no estamos muy seguros de que esta famosa ecuación de Einstein sea realmente suya. Aparentemente le fue sugerida por el gran matemático Hilbert. Einstein tampoco acogió con entusiasmo el descubrimiento posterior del ruso Friedmann, quien descubrió, él mismo, la solución no estacionaria de la ecuación de campo que permite describir la evolución del universo. Lo mismo ocurrió en 1921 con los trabajos del joven matemático Kaluza, cuyos trabajos, redescubiertos, constituyen hoy el punto de partida de la teoría de las supercuerdas. Estas cuestiones son científicamente de poco interés y no disminuyen en absoluto el valor de Einstein, pero muestran que el espíritu deportivo no necesariamente va unido al valor científico de una persona.
En la solución desarrollada por Schwarzschild, técnicamente, el espacio se divide en dos partes. En el interior del astro se supone que la densidad de materia r es constante. El tensor energía-materia T, del que depende, también es distinto de cero. En el exterior, r y T son nulos.
...Esta geometría compuesta es, por tanto, solución de dos ecuaciones diferentes, con o sin término independiente. La densidad de materia presenta una discontinuidad en la superficie del astro (lo mismo ocurre con el par solución interna de Schwarzschild y solución externa de Schwarzschild). En este caso, el astro es una esfera de densidad constante y esta cae bruscamente a cero en la superficie del astro. Pero la continuidad de las geodésicas puede aún garantizarse, mediante condiciones matemáticas cuya imagen se mostró anteriormente (unión tronco de cono-cúpula esférica).
...Cuando la masa se vuelve importante y los efectos de curvatura pronunciados, las trayectorias se apartan más claramente del modelo kepleriano, por ejemplo cerca de una estrella de neutrones. A continuación se muestra el avance del perihelio alrededor de un astro así (alrededor del Sol, la elipse de la trayectoria de Mercurio avanza 0,15 grados por siglo).
...La fórmula y el programa que permiten calcular estas trayectorias no tienen nada de complicado. Un día los publicaremos en este sitio, para los curiosos.
...En este momento estamos colocando algunas bases geométricas con vistas a discusiones posteriores, recordando al mismo tiempo que los modelos indicados tienen solo un carácter indicativo.
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