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Posibles problemas planteados por una elección de coordenadas.
...Vamos a comentar los riesgos inherentes al aplicar un sistema de coordenadas a una solución geométrica, expresando dicha solución en ese sistema particular de coordenadas: es necesario que dicho sistema sea adecuado. Cuando observamos la solución anterior, suponiendo que esta geometría sea solución de una ecuación de campo, el uso de un sistema de coordenadas (r, q) presupone que la topología es "localmente esférica", en dos dimensiones, por supuesto. Es decir, dentro de cualquier círculo "centrado en este centro geométrico hipotético" siempre se puede inscribir un círculo más pequeño, hasta que este círculo se convierta en un punto. Matemáticamente diríamos que todo círculo de radio r delimita una "célula contráctil".
...En 3D, localmente, el universo sería "como muñecas rusas". Dentro de una esfera siempre se podría inscribir una esfera de menor área. En 3D se trata de una topología localmente esférica.
¿Puede ser de otra manera?
Sí, si la topología de la superficie es "localmente toroidal". En 2D esto da lo siguiente:
...Nota: el objeto de la figura anterior es una superficie 2D en el sentido de que se necesitan dos parámetros para localizar la posición de un punto en ella. En este sentido, una curva es una "superficie de una dimensión". Cuando el geómetra hable del círculo, usará la expresión "esfera S1", es decir, "esfera de una sola dimensión": basta un único parámetro, la abscisa, para localizar un punto en una curva, objeto unidimensional. La esfera S2, la esfera "ordinaria", y el círculo, la esfera S1, tienen algo en común: son objetos "cerrados" (concepto tomado entonces de la topología).
...Este número de cantidades necesarias para definir la posición de un punto en un espacio es precisamente la definición de la dimensión de dicho espacio. Así, consideraremos el espacio-tiempo (x, y, z, t) como una hipersuperficie de cuatro dimensiones, porque se necesitan cuatro cantidades para definir un punto, llamado "evento".
Fin de esta nota sobre el concepto de dimensión.
...Es fundamental tener en cuenta una cosa. El geómetra que construye una solución particular de una ecuación de campo es ciego; no puede ver el objeto geométrico que obtiene. Solo puede explorarlo, a través de sus geodésicas, describiendo estas últimas en un sistema de coordenadas particular. Las coordenadas polares vistas antes correspondían a la intersección de la superficie con una familia de cilindros coaxiales:
y con una familia de planos que pasan por el eje común de dichos cilindros.
En 3D se trataría de la intersección del espacio con una familia de esferas concéntricas.
...¿Qué ocurre si cortamos la superficie que presenta este tipo de puente tubular con una familia de cilindros concéntricos? Mientras los cilindros corten la superficie, todo va bien. Pero cuando su perímetro se hace menor que el del "círculo de garganta", estas secciones se convierten en... curvas imaginarias. Sea p el perímetro del círculo de garganta. Asociémosle una longitud Rg tal que p = 2πRg.
...Es claro que todo cilindro de la familia con r < Rg no corta la superficie. Cuando el geómetra se interese por la forma de las geodésicas de la superficie para r < Rg, encontrará objetos geométricos imaginarios.
...Cuando se busca la intersección de dos puntos con una recta, por ejemplo x = xo, se encuentran dos valores reales para y cuando la recta realmente corta el círculo. En caso contrario, estos valores son puramente imaginarios.
...Si un hombre, que explora una superficie en la oscuridad, sin poder percibir su forma, ignora que la topología de esta es localmente toroidal, podría sentirse extremadamente desconcertado.
La superficie puede ser representada mediante dos familias de curvas:
...Cada curva está definida por un parámetro. Un punto M, en la intersección de estas dos curvas, queda bien definido por dos cantidades (a, b), los dos valores de las curvas que pasan por M.
...La primera está formada por círculos que no son geodésicas de la superficie (excepto el círculo de garganta), y la segunda por geodésicas de forma hiperbólica, ortogonales a estos círculos. Las curvas hiperbólicas evocan trayectorias que se hunden, permitiendo pasar de una hoja a otra hoja.
Obviamente, se puede tener la misma situación en un espacio 3D, localmente hiper-toroidal. Los círculos serán sustituidos por una familia de esferas, entre las cuales se encontrará una esfera de garganta, de área mínima. Las líneas que constituyen las trayectorias ortogonales a esta familia de esferas forman trayectorias que permiten atravesar este túnel hiper-toroidal y reaparecer en otra hoja (o folio) 3D.
...Esta observación no es gratuita. Tendremos ocasión de volver sobre ella cuando examinemos el modelo del agujero negro. De hecho, en este modelo, cuando penetramos "dentro de la esfera de horizonte", la masa de una partícula se vuelve... puramente imaginaria (y muchas otras cosas también). Entonces, tenemos derecho a preguntarnos si aún estamos en la hipersuperficie espacio-tiempo. ¿Sería pertinente la elección particular de coordenadas (t, r, q, j), que implica una topología localmente hiper-esférica (existencia de una coordenada radial r capaz de tomar valores inferiores al radio de la esfera de horizonte, de la esfera de Schwarzschild)?
Un conocido astrofísico escribió hace algunos años:
- Ahora sabemos mucho más sobre el interior de los agujeros negros.
Pero, si los agujeros negros existen, ¿tienen un interior, o corresponden a una topología localmente hiper-toroidal?
...Vemos todo lo que puede inducir una elección de sistema de coordenadas. La solución geométrica existe. Tiene geodésicas. Pero solo podemos "leer" todo esto proyectándolo en nuestro espacio mental de representación: un espacio-tiempo euclidiano, que ni siquiera es relativista. Elegir un sistema de coordenadas es elegir un sistema de lectura, un sistema de proyección.
...Como los personajes de Platón, solo podemos observar sombras sobre una "pantalla euclidiana". Y aún así, es necesario elegir el buen objetivo del "sistema de proyección".
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