f122
| 22 |
|---|
El contexto geométrico.
...Una esfera es un espacio de dimensión 2. Se necesitan dos parámetros para localizar un punto en ella. Es un espacio que tiene una topología (para más detalles sobre el significado de la palabra topología, véase mi cómic Le Topologicon, Ed. Belin). Una esfera no tiene la misma topología, la misma "forma", que un toro. La esfera posee geodésicas. Se puede inscribir en ella una trayectoria que una dos puntos M1 y M2 y medir la longitud s recorrida. Esta longitud es independiente de las coordenadas elegidas para localizar los puntos, al igual que las curvas geodésicas que pueblan la superficie.
...Conectemos el centro de esta esfera con todos sus puntos. Obtenemos una infinidad de semirrectas. Estas pueden ser localizadas con el mismo sistema de coordenadas que los puntos, por ejemplo dos ángulos q y j.
Arriba, nuestra esfera. Hemos hecho un agujero para mostrar el conjunto de los vectores radio.
Ahora eliminemos la esfera y conservemos únicamente los vectores radio.
...Hemos truncado estas semirrectas, pero en realidad son infinitas. Cada una está definida únicamente por la asignación de dos parámetros, por ejemplo dos ángulos. La estructura métrica ha desaparecido. Sin geodésicas, sin longitudes. ¿Qué queda?
-
Cada semirrecta tiene un entorno. Se pueden seleccionar semirrectas vecinas para rodearla formando una especie de cono. Dentro de este cono se puede colocar uno más estrecho que contenga la semirrecta. Es una cuestión de círculos concéntricos o muñecas rusas, pero con haces de semirrectas. Sin embargo, no se trata de trazar geodésicas sobre estos conos. Cada una de sus generatrices es simplemente un conjunto de dos parámetros, por ejemplo dos ángulos.
-
Se distingue una idea intuitiva de diferenciabilidad. No hay discontinuidades en esta "textura".
Tomemos una superficie plana, con geodésicas, longitudes, etc.
...Sea cual sea el sistema de coordenadas que elija, siempre tendré que localizar la posición de mis puntos con dos números reales (x,y), (r,q), etc.
Estos números reales se toman en R², es decir, en el conjunto de los pares de números reales, como (3,8705 , -17,56). Todo par de puntos tomado en este espacio de pares de números reales tiene un entorno. Es "continuo".
Estos objetos "pre-métricos" se llaman variedades (los matemáticos tienen el don de elegir palabras que no evocan nada para el hombre de la calle).
...En este punto, se puede dar el salto de considerar un conjunto de n números reales (espacio de n dimensiones), sin asociar automáticamente la idea de longitud o de geodésicas.
...Es un poco como si se considerara una superficie cuyos puntos tuvieran como única restricción mantener el contacto con sus vecinos. Sería infinitamente elástica y deformable. Por convención, si representamos una superficie por su contorno (ya sea su borde o su contorno aparente), evocaremos este concepto "móvil" de variedad simplemente eliminando el contorno:
...Esta imagen evoca además la sombra del objeto. Y una sombra no tiene consistencia ni forma. Su geometría depende del objeto sobre el que se proyecta.
También se puede imaginar la variedad (en inglés manifold), sin su métrica, como una familia de rectas.
...Aquí, hemos colocado rectas que parecen paralelas. Esas rectas deberían estar... de cualquier manera, siempre manteniendo sus relaciones de proximidad, de vecindad.
...Finalmente, una buena imagen de una variedad V2 es un paquete de espaguetis que primero se cocina, y luego se puede doblar y retorcer en todas direcciones, pero sin modificar el orden de las pastas entre sí.
Sea como fuere, se puede realizar sobre una variedad una operación de recubrimiento de dos hojas, dotada de métricas, sugerida por la imagen siguiente:
Aquí, dos hojas 2D dotadas de métricas idénticas (euclidianas). Pero también se puede hacer:
...Llamaremos M y M* puntos conjugados. El hecho de decir que los dos espacios conjugados están construidos como el recubrimiento de dos hojas de una variedad significa simplemente que existe una correspondencia punto a punto entre las dos hojas F y F*, pero, por ejemplo, las distancias entre pares de puntos homólogos (M1,M2), (M1, M2) pueden ser diferentes. La única restricción final es que los entornos de los puntos se correspondan también, y que a toda región no singular de una hoja corresponda una región también no singular.
...Recuperamos el paquete de espaguetis flexibles de antes. La estructura de "variedad-esqueleto" está allí únicamente para construir la aplicación inyectiva entre los dos objetos geométricos. La figura anterior está destinada a plantear completamente preguntas como "¿cómo están dispuestas las hojas F y F* una respecto a la otra? Si F es un universo, ¿dónde está F*?". Estas hojas son simplemente conjugadas, con una correspondencia punto a punto, y estos puntos conjugados pueden describirse con las mismas coordenadas.
../../../bons_commande/bon_global.htm
Índice
artículo Índice
Ciencia Página
de Inicio
Página anterior Página
siguiente
Número de consultas de esta página desde el 1° de julio de 2004** :