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Curvaturas conjugadas.
...¿Cómo abordar la idea de curvatura local, positiva o negativa, en un espacio de tres dimensiones? Tomemos una esfera. Clavemos un clavo en algún lugar. Ataquemos a él una cuerda de longitud L y fijemos en el otro extremo un lápiz. Podremos trazar un círculo, que será un paralelo. Realicemos la misma operación con un plano y una silla de montar.
...En un plano el perímetro es 2πL y el área del disco es πL².
...En la esfera el perímetro y el área de la calota son más pequeños. En una silla de montar el perímetro y el área delimitada por esta curva cerrada son mayores. Ejemplo: si tomamos una esfera de radio R y una longitud L igual a un cuarto del perímetro ecuatorial, es decir, πR/2:
...El área del disco es 3,875 veces mayor que el área de la calota esférica. Su perímetro es 1,57 veces mayor que el ecuador.
...Al realizar mediciones análogas sobre una superficie, podemos saber si la curvatura local es positiva o negativa. Situación análoga en 3D. Entonces tomamos un punto, una cuerda de radio L y trazamos... una esfera. Si el área de esta esfera es menor que el área euclidiana 4πL² concluiremos que la curvatura local es positiva. Si esta área es mayor que el área euclidiana 4πL² concluiremos que la curvatura local es negativa. La misma conclusión vale para el volumen. Limitémonos a estas ideas cualitativas. En tres y cuatro dimensiones se puede definir una longitud R, llamada curvatura escalar, que se calcula a partir de un tensor de curvatura.
...En el modelo cosmológico que presentamos, decidimos conjugar dos hojas del universo tales que los valores de las curvaturas escalares locales en puntos conjugados sean inversos:
R* = - R
...Esta es la forma puramente geométrica de abordar las cosas. Entonces resulta sencillo dar una imagen didáctica en 2D, con las reservas habituales sobre el alcance real de tales representaciones. Es el dibujo de la figura siguiente:
En la parte superior, un "posicón" obtuso. La curvatura local es nula en el tronco del cono y positiva en la calota esférica.
En la parte inferior, un "negacón" obtuso. La curvatura es nula en el tronco del negacón y negativa en la silla de montar.
...Hemos proyectado el objeto y las geodésicas sobre dos planos-espacio de representación euclidianos. El primero es el de un observador físicamente situado en la hoja F, que podrá así ver el objeto masivo, pero no la partícula-testigo que se desplaza en la hoja F*.
...La invisibilidad de un objeto situado en una hoja para un observador situado en la otra es de naturaleza puramente geométrica. Suponemos que los fotones siguen geodésicas (especiales) de cada hoja. Los fotones j se desplazan en la hoja F (nuestra hoja del universo) y los fotones j, que podríamos llamar "fotones fantasma" (ghost photons), se desplazan en la hoja F, la "hoja fantasma" (ghost universe). El hecho de que las dos hojas formen un conjunto disjunto, no conexo, impide que cualquier fotón de una hoja pueda pasar a la otra.
...El "funcionamiento" de un sistema geométrico así es menos complicado de lo que parece.
...La hoja F tiene su geometría, completamente descrita por una "métrica" g, a partir de la cual se construye su sistema de geodésicas. A partir de esta métrica g se puede construir un tensor geométrico S y identificarlo con un tensor T, que sea "fuente del campo", origen de esta curvatura, escribiendo la ecuación de Einstein:
S = c T
La geometría de la segunda hoja, tal que su curvatura escalar sea inversa, corresponde a una métrica g*, a partir de la cual se puede construir un tensor geométrico S*. La inversión de curvatura se deduce simplemente de:
S* = - S = - c T
...Lo cual no significará absolutamente que g* = -g. Las ecuaciones son no lineales. La métrica g* genera también geodésicas.
...Consideremos una geodésica de la hoja F y representemos la curva correspondiente a los puntos conjugados, en la otra hoja. No es una geodésica de esta última.
Inversamente:
...¿En qué punto estamos ahora? Hemos dotado al universo (supuesto que sea la hoja F, nuestro propio espacio-tiempo) de un hermano gemelo. La materia presente en nuestro universo (el tensor T) determina su geometría, pero también determina la del gemelo. Suponemos que nuestro universo contiene únicamente masas positivas y, más generalmente, partículas con energías positivas. No consideramos la posible presencia de masas negativas en nuestra hoja de espacio-tiempo. El tensor T es por tanto positivo allí donde hay energía-materia, o nulo allí donde reina un vacío profundo. La curvatura local de F es por tanto nula o positiva, pero no puede ser negativa.
...Por el contrario, la curvatura de la hoja F* (hablaremos entonces de curvatura inducida) es nula o negativa.
...Si existen partículas en esta hoja, suponemos que también siguen geodésicas de esta. ¿Qué observamos al mirar la figura anterior? El objeto gris, esta masa presente en nuestro universo, en la hoja F, se comporta como un objeto repulsivo (ver la curvatura de la trayectoria-geodésica) en la hoja F*.
...Hemos construido una solución matemática exacta correspondiente a este par de "métricas conjugadas" (g, g*). [Ver en el sitio: artículo Geometrical Physics B]. La solución g es idéntica a lo que hemos llamado las métricas de Schwarzschild externa (fuera del astro) e interna (dentro del astro mismo). Proponemos llamar a la segunda métrica "Anti-Schwarzschild". [Ver en el sitio: Geometrical Physics A, 7, artículo 2: Métricas estacionarias conjugadas. Soluciones exactas.]
Con materia fantasma.
Desde esta perspectiva de geometrías conjugadas, podemos invertir la situación y suponer que una masa (positiva) se encuentra presente en algún lugar en la hoja F*. Entonces crea una curvatura positiva y la imagen didáctica 2D de esta geometría corresponde al cono obtuso, a una solución de Schwarzschild, pero en la hoja F*.
...La misma observación vale para la forma en que los observadores de diferentes hojas perciben el efecto de esta masa sobre una partícula-testigo que se desplaza en su universo.
...El examen del esquema anterior nos permite extraer las leyes de interacción entre la materia y la materia fantasma (ghost-matter), localizada en el segundo universo, el ghost universe.
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Dos partículas de materia se atraen.
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Dos partículas de materia fantasma se atraen.
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Materia y materia fantasma se repelen.
...Vemos que esto difiere del esquema sugerido por Souriau, según el cual las partículas de la segunda especie no solo repelían a las que constituyen nuestra materia, sino que también se repelían entre sí.
...La segunda geometría corresponde a la presencia de masas positivas m* en la hoja F*. Podremos definir en ella una densidad de materia ρ* > 0 (o más precisamente de energía-materia fantasma, ya que la segunda hoja, el ghost universe, también contiene "radiación fantasma", fotones fantasma y neutrinos fantasma). La energía de las partículas fantasma es positiva, al igual que la presión p*.
...A partir de estas magnitudes se puede construir un tensor de energía-materia fantasma T* (el tensor energía-materia más general es un poco más que eso, pero esta descripción esquemática basta "para los fines usuales").
La ecuación de campo que da la geometría en...