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La curvatura (positiva).

...Cuando trazábamos nuestro triángulo,
formado por líneas geodésicas, sobre un plano, la suma
de sus ángulos en los vértices valía π.
Un plano... es una superficie plana, «no curva», euclidiana. La suma
de los ángulos de este triángulo es, por tanto, la suma euclidiana. En la experiencia
anterior vimos que si un triángulo no contenía el
vértice de nuestro cono, la suma seguía siendo euclidiana. En cambio, cuando el
triángulo contiene el vértice S, entonces esta suma presenta un exceso
q, sea cual sea
el triángulo, siempre que contenga dicho punto. Diremos que el vértice del
cono es un punto de curvatura concentrada.

...Podemos ahora pasar a otras
experiencias. Después de fabricar dos conos, con
recortes q1 y
q2, podemos
pegar estos dos elementos de superficie uno al otro.

...Una forma más sencilla de proceder
consiste en realizar dos recortes en una hoja de cartulina
y fabricar la siguiente superficie:

Podrá entonces trazar sobre esta superficie tantos triángulos geodésicos
como desee:

• Que no encierren ni S1 ni S2: Suma de los ángulos: π

• Que encierren solo S1: Suma de los ángulos π

• q1

• Que encierren solo S2: Suma de los ángulos: π

• q2

• Que encierren ambos puntos S1 y S2: Suma de los ángulos
  : π + q1+
  q2

...Se imagina fácilmente que se pueda fabricar
un gran número de mini-conos de ángulo Dq
pequeño y que se puedan pegar unos sobre otros. Se podría
incluso conseguir que hubiera una densidad de curvatura
constante por unidad de superficie, asimilando esta curvatura a
la suma de los Dq asociados
a cada vértice de estos mini-conos.

...Haciendo estos mini-conos cada vez más
pequeños (así como el ángulo elemental Dq
asociado a ellos), se puede utilizar esto para construir
una porción de superficie con densidad de curvatura constante.

La esfera es una superficie con densidad de curvatura constante.
Se dirá más simplemente con curvatura local constante.

Un huevo es una superficie curva, con densidad de curvatura variable. Se dirá más simplemente con curvatura local variable.

...La Relatividad General
consiste en identificar densidad de masa r
y curvatura local. Por supuesto, la Relatividad General
no trata de superficies de dos dimensiones, ni siquiera de
tres, sino de hipersuperficies de cuatro dimensiones. No se debe, por tanto,
exigir demasiado a lo anterior y solo deberemos considerar
estas figuras como imágenes didácticas, destinadas a fijar
las ideas. Pero no son tan malas como parecen.

Imagen didáctica 2d de un astro.

Un astro, como el Sol, es una concentración de materia, rodeada, si no
de vacío, al menos de un casi-vacío (por tanto, de una región con curvatura
muy débil). En dos dimensiones, la imagen didáctica será la de un cono
aplanado.

...Un cono aplanado se fabrica
mediante dos elementos: una casquete esférica,
con curvatura constante (o con «densidad de curvatura constante»)
y un tronco de cono. Este tronco de cono es «plano», su densidad
de curvatura es nula. Es una superficie euclidiana. Es la imagen didáctica
2d de un astro con densidad de masa r
constante.

...Podríamos, de paso, preguntarnos cómo
unir perfectamente un tronco de cono y una casquete esférica,
de manera que el plano tangente sea continuo.

...Es sencillo. El tronco de cono se fabrica
a partir de un cono, lo que implica un recorte de un ángulo
q. La casquete esférica
contiene cierta «cantidad de curvatura», que también es un ángulo.
Es la suma de todos los ángulos de los mini-conos que la constituyen. Es necesario que estos dos ángulos sean iguales.

Pero, ¿cómo evaluar la cantidad de curvatura contenida en una
casquete esférica dada?

...

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