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Curvatura total.
...Podemos fabricar una esfera yuxtaponiendo mini posicones. Pero durante esta operación, esta superficie de curvatura (o densidad de curvatura o curvatura local) constante se cerrará. Por lo tanto, contiene cierta curvatura, pero ¿cuál?
...Si trazo un triángulo geodésico sobre una esfera, encerrará un cierto número de mini posicones, una cierta «cantidad de curvatura», que es un ángulo. Esta será simplemente proporcional a la superficie del triángulo, o más precisamente, a la relación entre la superficie s del triángulo y la superficie S de la esfera.
...Pero hemos visto, más arriba, que cuando trazábamos un triángulo geodésico sobre una superficie fabricada a partir de posicones unidos, la desviación respecto a la suma euclidiana era igual a la suma de las curvaturas concentradas asociadas a cada vértice de los conos contenidos en nuestro triángulo. Por lo tanto, basta con medir la suma de los ángulos a, b, g del triángulo anterior, fabricado a partir de tres arcos geodésicos de la esfera, para obtener una medida de la cantidad de curvatura angular contenida en este triángulo. Las geodésicas de la esfera son sus «círculos máximos».
...Cortemos nuestra esfera en ocho porciones iguales. Obtendremos ocho triángulos formados por arcos geodésicos, cuyos tres ángulos serán rectos.
...Cada uno de estos triángulos contiene, por tanto, una curvatura igual a p/2. Como hay ocho, la curvatura total de la esfera vale entonces 4 p.
...Esta pequeña observación sirve para mostrar que se pueden construir resultados geométricos mediante razonamientos extremadamente simples.
...Volviendo al tema del cono romo, vemos que el flanco del objeto depende de la cantidad de curvatura «contenida en el interior», pudiendo esta curvatura ser puntual (punto cónico) o distribuida sobre una casquete esférica. Se puede hacer tender la casquete hacia un punto, reduciéndola de manera homotética (de tal manera que contenga siempre la misma «cantidad de curvatura»).
Trayectorias.
...En la Relatividad General, la idea clave es simple: asimilar las trayectorias de los objetos, de las partículas, de los fotones o de la materia a geodésicas. Por supuesto, son geodésicas de una hipersuperficie de cuatro dimensiones. Por lo tanto, aquí también solo tenemos imágenes didácticas.
Si tomamos nuestro cono romo, podemos trazar geodésicas sobre él y proyectarlas sobre un plano.
...Todas las partículas siguen geodésicas de la hipersuperficie: las partículas de materia, pero también los fotones y los neutrinos. Es por eso que nos hemos divertido representando una geodésica que atraviesa completamente el objeto. Un neutrino puede atravesar el sol sin problema.
...Pero ¿qué es ese plano sobre el que proyectamos estas geodésicas? Es la manera en que representamos el espacio. Nuestro «universo mental» es completamente euclidiano y nuestro pensamiento es «plano». Cuando vemos un cometa rozar el sol, jamás se nos ocurriría que en realidad va «en línea recta», es decir, que sigue una geodésica de la hipersuperficie. Nuestra percepción del mundo es la figura 24', donde un astro «atrae» a los objetos que pasan por su vecindad.
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