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Geometrías
conjugadas.
...Vamos
a asociar entonces un posicono embotado y un "negacono
embotado", que comportan las mismas cantidades de curvatura,
pero de signo opuesto: + q
y - q.
Se les puede poner cara a cara (creando al pasar una "aplicación
punto por punto": biunívoca, inyectiva). Hay entonces dos capas.
Llamémoslas F y F*. A todo punto de F corresponde un punto de F*.
...Arreglémoslas
para que los contornos circulares de las "partes embotadas", portadoras
de curvatura (positiva en una capa, negativa en la otra) se correspondan
punto por punto. Se ilustra esto proyectando el conjunto sobre un plano. Se obtienen
dos superficies que tienen curvaturas conjugadas.
...Los
flancos cónicos son "no curvos", son elementos
de superficies euclidianas. Se dirá que en todo punto de estas superficies la curvatura
local es nula. El casquete esférico y la silla de montar se corresponden
punto por punto. Sus curvaturas son opuestas.
La Relatividad
General.
...El
punto de partida es la idea de que la geometría del
cosmos está determinada por su contenido en "energía-materia".
Notemos que se emplea el vocablo energía-materia y no solamente
materia, lo que muestra bien que todo contenido cósmico tiene una influencia
sobre la geometría, incluida la radiación, los fotones (o
los neutrinos). Hemos visto más arriba que un fotón creaba una minicurvatura
positiva en el espacio.
...Vamos
a razonar primero en estacionario. Una superficie plana, libre, es una
superficie donde la tensión es nula. Se puede modificar su geometría
creando en ella tensiones, positivas o negativas (el signo es
una cuestión de convenciones). Si caliento por ejemplo un film plástico
podré hacer aparecer en él una ampolla, es decir una región
de curvatura positiva.
...Puedo
también poner en la superficie de una hoja de papel un producto que,
al secarse, va a contraerse. La tensión hará aparecer una
región de curvatura negativa.
...Un
calderero conformador sabe jugar con estas tensiones para deformar una
chapa. Tomemos por ejemplo un tubo de metal. Caliento de un lado,
enfrío del otro. ¿Qué va a pasar?
El tubo va a curvarse,
la parte calentada dilatándose y la parte enfriada contrayéndose.
...Al
hacer esto, hemos creado tensiones en el
metal. Es el origen de la palabra tensor, en matemáticas
y en geometría. El especialista en resistencia
de materiales hablará de tensor de tensiones. El geómetra
hablará de tensor de curvatura.
La pequeña experiencia
anterior ilustra la idea:
Contenido local en energía ----->
geometría local
...En
Relatividad General, se hace lo mismo. La diferencia
es que este contenido local en energía-materia determina
la geometría de una hipersuperficie de cuatro dimensiones y
no, como aquí, la geometría de una superficie de dos dimensiones.
Pero la idea es similar.
...El
matemático utilizará entonces una escritura tensorial. Apenas se puede decir más aquí para un no matemático.
Pero el tensor de Einstein S
(se utilizarán letras negritas) corresponde al aspecto geometría.
En la ecuación de Einstein se le identifica con otro tensor
T, que describe
el contenido en energía-materia, salvo una constante multiplicativa,
la "constante de Einstein c
".
La célebre
ecuación de Einstein se escribe pues:
S = c
T
...En
el tensor T
intervienen la masa volumétrica r y
la presión p (en realidad el tensor T más
general es más complejo, pero nos contentaremos
con esta expresión, por lo demás habitual). En una configuración estacionaria
se dará pues una cierta distribución de densidad y de presión
r (x,y,z)
, p (x,y,z). Con esto se sabe construir el tensor T
que contiene así todos
los datos del problema. La cuestión es entonces: "¿cuál es
la geometría que va con este tensor T ,
satisfaciendo la ecuación anterior?".
...Dicho
de otro modo, el físico, conociendo el contenido local del universo, busca
determinar la geometría de la hipersuperficie universo.
Quien dice geometría
dice geodésicas. Es aquí donde interviene la segunda
hipótesis de la Relatividad General:
Se supone que los objetos que transitan
en el universo
siguen geodésicas
de la hipersuperficie espacio-tiempo.
Por objeto se entenderán
partículas (partículas llamadas elementales, fotones, neutrinos)
pero también planetas, estrellas, etc....
En esta etapa, una observación
: ¿dónde están las partículas en todo este asunto?
...Respuesta
: el especialista en Relatividad General trabaja
en lo macroscópico. Las funciones de entrada del problema, la
masa volumétrica r y
la presión p, corresponden a una descripción macroscópica del contenido
cósmico. Lo mismo para la "salida". Y el geómetra
añade:
- Usted me ha dado
funciones r
(x,y,z)
y p (x,y,z), yo le he construido la hipersuperficie que iba con ellas, con sus
familias de geodésicas. Pero no puedo hacer más. Soy
en particular incapaz de fabricarle partículas, átomos,
etc. Para eso, vea otro servicio...
En claro: el puente entre
la Relatividad General y la física de partículas
aún no está construido.
Pero el astrónomo exclamará
:
- Qué importa. Esta hipótesis
según la cual los fotones siguen ciertas geodésicas de
esta hipersuperficie funciona. La prueba: puedo hacer observaciones.
Si supongo que los planetas, asimilados a masas
puntuales, siguen igualmente geodésicas de esta
hipersuperficie, puedo construir sus trayectorias. Están también los efectos
de lente gravitacional....
Tiene razón.
...Estos
efectos de lente gravitacional, digamos algunas palabras sobre ellos. Por supuesto,
esta imagen del cono embotado no es más que una imagen didáctica.
Un planeta que orbita circularmente alrededor de una estrella sigue
también una geodésica del espacio tiempo. Ahora bien, un círculo trazado
sobre un cono embotado no es una geodésica:
Esto muestra simplemente
los límites de las imágenes didácticas, aunque sean geométricas.
...Los
fotones siguen efectivamente geodésicas de la hipersuperficie
espacio-tiempo. Se podrá utilizar esta imagen del cono embotado
para ilustrarlo. Los rayos luminosos pueden pasar a uno y otro lado de un
objeto masivo, y luego converger hacia el observador. Si proyectamos estas geodésicas,
obtendremos un efecto de espejismo: el observador tendrá la impresión de que
hay dos fuentes en lugar de una:
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