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Invariancia bajo cambio de coordenadas.

...He aquí un concepto clave de la Relatividad General, que no es fácil de presentar. Hemos dicho que buscar una "solución cosmológica", estacionaria o no estacionaria, equivale a construir una hipersuperficie de cuatro dimensiones que sea "solución de la ecuación de campo".

...Tomemos, por ejemplo, un objeto de chapa que tenga la topología de una esfera. Es "una esfera de chapa". También aquí es fácil imaginar que se puede deformar esta superficie calentando y enfriando en ciertas zonas. Por ejemplo, calentando en un punto y enfriando la región antipodal, transformaríamos esta esfera en un huevo. Un huevo es un objeto que tiene la topología de una esfera, pero que es una superficie de curvatura variable.

...Al calentar en un lugar y enfriar en otro, se crearán tensiones en el metal. Por supuesto, como este material es conductor, si dejáramos de calentar y enfriar, la temperatura se homogeneizaría y el objeto recuperaría su forma esférica. Lo que importa es que se logra crear una situación estacionaria con un campo de temperatura no uniforme. Este campo genera tensiones y estas tensiones podrían concretarse en forma de un objeto matemático T llamado tensor.

Algo describe la geometría del objeto. Esto se llama una métrica. A partir de este segundo objeto matemático se puede:

• Calcular el tensor geométrico S

• Calcular las geodésicas de la superficie.

La geometría de esta superficie podría calcularse a partir de una ecuación análoga a la ecuación de Einstein, del tipo:

S = a T

donde a es una constante. Conociendo a priori el campo de temperatura en la chapa, y por tanto el tensor de tensiones, se podría deducir su geometría. La mejor manera de "leer" esta geometría sería analizar entonces el sistema de geodésicas. Conocemos las de la esfera (sus "círculos máximos"). Las geodésicas de un huevo son diferentes.

...Para describir estas geodésicas necesitaremos definir un sistema de coordenadas sobre la superficie. Para la esfera, se puede tomar el clásico sistema azimut-altitud.

...En este sistema de coordenadas particular, las geodésicas de la esfera corresponderían a ciertas ecuaciones.

Sobre esta esfera, las curvas q = Cte representan la familia de geodésicas que pasan por dos puntos. En cambio, las curvas j = Cte (paralelos) no son geodésicas de la superficie.

...También se podría definir un sistema de coordenadas análogo y escribir las ecuaciones de las geodésicas de la superficie "huevo". Pero se observa inmediatamente una cosa esencial: las geodésicas de la superficie son independientes de las coordenadas que se elijan para describirlas, del mismo modo que los puntos de una esfera, o de un huevo, existen independientemente del sistema de coordenadas utilizado para localizarlos.

...Del mismo modo, en un plano, se pueden representar puntos en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. Las rectas del plano son geodésicas.

Una recta puede describirse en dos sistemas de coordenadas:

...Se trata de la misma geodésica, con dos descripciones totalmente diferentes. Las rectas del plano existen independientemente de la manera en que se describan, de la elección de las coordenadas utilizadas. Y se pueden imaginar... una infinidad de ellas.

...Entonces, ¿qué es lo intrínseco? Respuesta: la longitud s medida sobre una recta (o a lo largo de un contorno curvilíneo cualquiera). Entre dos puntos M1 y M2 de una superficie, el trayecto de longitud mínima es una geodésica.

...Del mismo modo, la distancia que separa dos puntos, sobre una geodésica de los objetos "esfera" o "huevo", es también una magnitud que es independiente del sistema de coordenadas elegido. Si se toman dos puntos M1 y M2 sobre una superficie y se traza el arco geodésico que los une, la longitud s medida a lo largo de este arco será la misma, sea cual sea el sistema de coordenadas utilizado para localizar los puntos.

...Lo mismo ocurre con la hipersuperficie de cuatro dimensiones que llamamos "universo". Posee su propio sistema de geodésicas, igualmente invariantes bajo cambio de coordenadas. No habitamos en un espacio (x, y, z, t) con coordenadas de posición y una coordenada de tiempo, sino en una hipersuperficie cuatridimensional que puede ser descrita completamente por su red de geodésicas. Sobre estas geodésicas existe una longitud s que es también invariante bajo cambio de coordenadas. Los puntos de esta hipersuperficie ya no son puntos del espacio, sino puntos de una hipersuperficie espacio-tiempo. Se les llama eventos. Dos eventos distintos están separados, pues, por algo que se llama s. Pero, ¿qué es eso?

Es el tiempo propio.

...Una trayectoria geodésica en esta hipersuperficie espacio-tiempo separa dos eventos M1 y M2. Todo lo que puedo decir es que si hubiera utilizado un vehículo para efectuar este trayecto en el espacio-tiempo, habría transcurrido un intervalo de tiempo s en mi reloj de a bordo.

Una elección de coordenadas consiste en localizar los puntos del espacio-tiempo mediante coordenadas espaciales (x, y, z) y una coordenada temporal t. Pero como esta elección es arbitraria, este espacio y este tiempo no tienen una existencia intrínseca. No son más que formas de "leer" la superficie, de recorrerla. La única restricción es que, según la hipótesis hecha, solo se puede desplazarse siguiendo geodésicas y, sobre estas, la única cosa fiable a la que se puede aferrar es el "tiempo propio transcurrido" s, y no ese tiempo t, simple sistema de referencia cronológico (chronological marker).

Para cada elección del sistema de coordenadas, un sistema diferente de lectura de los eventos, de los fenómenos.

...Los físicos han buscado, pues, un formalismo que sea independiente de la elección de coordenadas. Esta es la esencia del formalismo tensorial. No se puede decir más sobre este tema, so pena de entrar en detalles técnicos relativamente complejos.

El problema de las singularidades.

Sobre una esfera, la elección clásica de coordenadas angulares introduce dos singularidades polares.

Es imposible cartografiar una esfera sin introducir este tipo de singularidades polares.

...Cabe señalar que se puede cartografiar una esfera con una única singularidad. Se crea sobre la esfera una primera familia de curvas (círculos) cortándola con planos, como se indica a continuación:

Luego una segunda familia:

Fuera de esta única singularidad, no hay problema. Si miráramos esta esfera desde el otro lado, veríamos esto:

...Fuera de la única singularidad S, se localizan los puntos sin dificultades. Pero los valores de los parámetros a y b que definen esta singularidad de malla S son... cualquier cosa...

...Sin embargo, una esfera no es geométrica ni intrínsecamente singular. Giren una bola de billar en todos los sentidos, o un huevo, y no descubrirán ningún punto singular.

Estas singularidades han sido, pues, creadas por la elección de las coordenadas.

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