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En cambio, existirán verdaderas singularidades geométricas:
Etc....
..De paso, el pliegue es una región particular de la superficie que contiene curvatura lineica, a la izquierda negativa, a la derecha, positiva. A propósito se han fabricado estas dos superficies con casquetes esféricos. El objeto final tiene la topología de la esfera. Posee por tanto una curvatura total igual a 4p. Supongamos que el objeto de la izquierda se ha fabricado con dos veces tres cuartos de esfera (partiendo de esferas del mismo radio). Estos componentes corresponden por tanto cada uno a una curvatura de 3p. Total 6p. Se sabe por tanto inmediatamente cuánta curvatura (negativa) contiene el pliegue: - 2p. Esta está uniformemente distribuida a lo largo del pliegue circular. Se sabe por tanto calcular la suma de los ángulos del triángulo ABC. Midiendo su superficie se conoce primero la cantidad de curvatura (angular) que contiene. Es:
Hay que restar la cantidad de curvatura contenida en el arco mn. Es:
La lente también tiene la topología de la esfera. Por tanto el pliegue contiene una curvatura lineica positiva igual a 2p.
...Se puede igualmente calcular la suma de los ángulos del extraño triángulo ABC, que está constituido por tres líneas geodésicas. Las geodésicas franquean alegremente los pliegues. No tiene más que hacer la experiencia con su cinta adhesiva.
El arco mn contiene la curvatura lineica: Supongamos que la especie de lente indicada más arriba ha sido fabricada con dos cuartos de esferas, idénticos. Cada uno contiene una curvatura igual a p. Por tanto, en la superficie (sin el pliegue) contiene la curvatura 2p.
...Contabilizando la curvatura angular contenida en el triángulo ABC y en el arco-pliegue se puede conocer la desviación, positiva, respecto a la suma euclidiana p.
Se ve que se puede bastante fácilmente hacer malabares con estos problemas de curvatura, para las superficies.
...Una superficie puede comportar puntos singulares o pliegues. En este caso se trata de singularidades realmente geométricas, intrínsecas, y no resultantes de una elección de coordenadas.
...De paso notemos que esta curvatura lineica podría repartirse sobre una porción de superficie. Por ejemplo, para la figura de la izquierda, se obtendría:
...Es el procedimiento análogo al que había sido presentado más arriba, donde la curvatura concentrada en el vértice de un cono había sido distribuida sobre un casquete esférico (cono embotado). Si los dos casquetes esféricos que componen la superficie de arriba representan por ejemplo cada uno dos tercios de esfera, sea una curvatura
La superficie grisada contendrá una curvatura negativa C, uniformemente distribuida, tal que:
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