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Espacio
de representación.
...Se
había visto que un cilindro era una superficie desarrollable. Tome
ahora una hoja de papel. Es una superficie plana, euclidiana. Sus
geodésicas son rectas. Trace algunas rectas sobre esta
hoja, luego arrugúela.
...Si
pudiera rigidizar esta superficie plana arrugada, se daría cuenta
de que esta operación no ha modificado en absoluto la distribución de
sus geodésicas, que podría trazar de nuevo con su
cinta adhesiva. Simplemente ha jugado con el modo de representación
de este plano en su espacio de inmersión tridimensional.
Una forma menos
complicada de proceder consiste en transformar una chapa
en...chapa ondulada:
Geodésicas
: sin cambios.
...Los
objetos geométricos existen independientemente de la forma
en que nos los representamos, independientemente de su espacio
de representación.
...Se
supone que habitamos en una "hipersuperficie cuadridimensional":
el espacio tiempo. La Relatividad General consiste en
intentar construir su geometría, como solución de una
ecuación de campo, y luego en "leer" esta geometría,
analizando las geodésicas de la hipersuperficie. Es evidente
que ya no se trata entonces de espacio de representación. Para
ello habría que disponer de una visión en cinco dimensiones, que no
poseemos.
...En
la práctica, utilizamos coordenadas que son las del espacio
euclidiano, de proyección. Imaginemos que buscamos una solución geométrica
propia para describir el espacio tiempo en las proximidades de un cuerpo masivo
y en el interior de este. Vamos a suponer que el sistema
posee la simetría esférica. Además supondremos
que este sistema es estacionario (o casi estacionario).
...Utilizaremos
entonces las coordenadas esféricas (r ,
q , j) . En dos dimensiones, solo tendremos dos y nuestra simetría
será circular. Utilizaremos entonces el sistema de coordenadas
polares del plano:
...Este
modelo del cuerpo romo es una imagen didáctica 2d de una
solución estacionaria que existe efectivamente en Relatividad General
y que fue inventada por el austriaco Schwarzschild,
en 1917, como solución particular de la "ecuación de Einstein"
:
S = c T
ya presentada más arriba. Esta solución es
inteligente y sutil. En el plano del cálculo, no es simple de construir.
Esta precisión para intentar disipar un mito: el de un Einstein,
genio aislado en el mundo de su tiempo, poblado de ignorantes.
...A
partir de esta solución se muestra entonces que existen, alrededor de una masa
que posee la simetría esférica, geodésicas
planas, situadas en planos, y se sabe calcular su forma
: r = f (q). Estas trayectorias (o al menos su
proyección en nuestro espacio mental de representación, euclidiano) son
"casi Keplerianas" y las leyes de Kepler aparecen entonces como
una aproximación, cuando la masa que crea esta geometría
(en la visión newtoniana, esta "fuerza") permanece moderada, es
decir que la curvatura local, en esta masa, permanece débil.
...Esta
solución es uno de los ejes de la Relatividad General
y, aunque esto no pueda ser evocado por simples
imágenes didácticas como las que ofrecemos al lector, es ella la que
permite prever y calcular por ejemplo el avance del perihelio
de Mercurio. Einstein se sirvió de esta solución para explicar este efecto,
ya conocido, y cosechó al mismo tiempo todos los laureles
de lo que en adelante se llamó "la teoría de Einstein". ¿Por qué
no explotó Schwarzschild él mismo su descubrimiento? Porque
insistió absolutamente en comprometerse y partir a las trincheras,
donde fue gaseado y murió poco después.
...Por
lo demás, no se está muy seguro de que esta célebre
ecuación de Einstein sea realmente suya. Aparentemente le habría sido
sugerida por el gran matemático Hilberth. Einstein
tampoco acogió con entusiasmo el descubrimiento posterior
del ruso Friedmann, que descubrió, él, la solución no estacionaria
de la ecuación de campo que permite describir la evolución
del universo. Lo mismo ocurrió, en 1921, con los trabajos del joven matemático
Kaluza, cuyos trabajos, redescubiertos, constituyen ahora el punto
de partida de la teoría de las supercuerdas. Estas cosas son científicamente
de poco interés y no disminuyen en nada el valor de Einstein,
pero muestran que el espíritu deportivo no va forzosamente con el valor
científico de un individuo.
En la solución desarrollada
por Schwarzschild, técnicamente, el espacio está en dos partes. En el interior
del astro la densidad de materia r se
supone constante. El tensor energía-materia T,
que depende de ella, es igualmente no nulo. En el exterior
r y
T son nulos.
...Esta
geometría compuesta es por tanto solución de dos ecuaciones
diferentes, con o sin segundo miembro. La densidad de materia
presenta una discontinuidad en la superficie del astro (es
también el caso para el par solución de Schwarzschild "interior"
y solución de Schwarzschild "exterior". En este caso el astro es
una esfera de densidad constante y esta cae brutalmente
a cero en la superficie del astro). Pero la continuidad
de las geodésicas puede no obstante asegurarse,
a través de condiciones matemáticas cuya imagen se ha
dado más arriba (empalme tronco de cono-casquete esférico).
...Cuando
la masa se vuelve importante y los efectos de curvatura pronunciados, las
trayectorias se alejan entonces más netamente del modelo kepleriano,
por ejemplo en las proximidades de una estrella de neutrones. A continuación
el avance del perihelio alrededor de tal astro (alrededor del sol
la elipse trayectoria de Mercurio avanza 0,15 grados por siglo).
...La
fórmula y el programa que permiten calcular estas trayectorias no tienen
por lo demás nada de complicado. Los daremos algún día en este sitio,
para los curiosos.
...En
este momento ponemos algunas balizas geométricas con vistas a
discusiones ulteriores, recordando al mismo tiempo que los modelos indicados
solo tienen un carácter indicativo. .
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