f111

Posibles problemas
planteados por una elección de coordenadas.

...Vamos
a evocar los riesgos que se corren al superponer un sistema de
coordenadas sobre una solución geométrica, expresando
esta solución en ese sistema de coordenadas particular:
aún es necesario que este sea adecuado. Cuando observamos la solución
anterior, suponiendo que esta geometría sea solución de una
ecuación de campo, el recurso a un sistema de coordenadas
(r , q) presuponía que la topología era
"localmente esférica", en dos dimensiones, por supuesto. Es
decir, que en el interior de todo círculo "centrado en ese centro
geométrico hipotético siempre se podía inscribir
un círculo más pequeño, hasta que ese círculo se convirtiera en un punto. Matemáticamente
se diría que todo círculo de radio r delimita una "célula contráctil".

...En
3d, localmente, el universo sería "como muñecas rusas". En el interior
de una esfera siempre se podría inscribir una esfera de área
menor. En 3d, se trata de una topología localmente esférica.

¿Puede ser
de otra manera?

Sí, si la topología
de la superficie es "localmente tórica". En 2d esto da lo siguiente:

...Observación:
el objeto de la figura anterior es una superficie 2d en el sentido de que se necesitan
dos parámetros para localizar en ella la posición de un punto. En ese
sentido una curva es una "superficie de una dimensión". Cuando hable
del círculo, el geómetra empleará la expresión "esfera
S1", es decir "esfera de una sola dimensión": solo
se necesita un único parámetro, la abscisa, para localizar un punto
sobre una curva, objeto unidimensional. La esfera S2, la esfera
"ordinaria" y el círculo, la esfera S1 tienen algo en común:
son objetos "cerrados" (concepto entonces tomado de
la topología).

...Ese
número de cantidades que sirven para definir la posición de un
punto en un espacio es precisamente la definición de
la dimensión de ese espacio. Así se considerará el espacio
tiempo (x,y,z,t) como una hipersuperficie de cuatro dimensiones, porque
se necesitan cuatro cantidades para definir en él un punto, llamado "suceso".

Fin de esta observación
sobre el concepto de dimensión.

...Hay
que tener bien presente una cosa. El geómetra que construye
una solución particular de una ecuación de campo es ciego,
no puede ver el objeto geométrico que obtiene.
Solo puede explorarlo, a través de sus geodésicas,
describiendo estas en un sistema de coordenadas
particular. Las coordenadas polares de hace un momento
correspondían a la intersección de la superficie por una familia de cilindros
coaxiales:

y por una familia de
planos que pasan por el eje común de aquellos.

En 3d se trataría
de la intersección del espacio por una familia de esferas concéntricas.

...Pero
¿qué ocurre si se corta la superficie que presenta esta especie de
puente tubular por una familia de cilindros concéntricos? Mientras los cilindros
corten la superficie, va bien. Pero cuando su perímetro
se vuelve inferior al del "círculo de garganta" esas secciones se vuelven
... curvas imaginarias. Sea p el perímetro del círculo de
garganta. Asociémosle una longitud Rg tal que p = 2 p
Rg .

...Está
claro que todo cilindro de la familia tal que r < Rg no
corta la superficie. Cuando el geómetra se interese
por el aspecto de las geodésicas de la superficie para r <
Rg encontrará objetos geométricos imaginarios.

...Cuando
se busca la intersección de dos puntos con una recta, correspondiente por
ejemplo a x = xo se encuentran dos valores reales, para y, cuando
la recta corta efectivamente el círculo. De lo contrario esos valores son imaginarios
puros.

...Si
un hombre, que explora una superficie en la oscuridad, sin poder
percibir su forma, que ignora que la topología de esta es
localmente tórica, podría quedar extremadamente desconcertado.
La superficie puede ser localizada con ayuda de dos familias
de curvas:

...Cada
curva está definida por un parámetro. Un punto M, en la intersección
de esas dos curvas, queda bien definido por dos cantidades (a,b),
los dos valores de las curvas que pasan por M.

...La
primera está constituida por círculos que no son
geodésicas de la superficie (salvo el círculo de garganta), la segunda
por geodésicas, de aspecto hiperbólico, ortogonales a
esos círculos. Las curvas hiperbólicas evocan trayectorias zambullentes,
que permiten pasar de una hoja a otra hoja.
Evidentemente se puede tener la misma situación para un espacio 3d,
localmente hipertórico. Los círculos serán reemplazados por una familia
de esferas, entre las cuales se encontrará una esfera de garganta,
de área mínima. Las líneas que constituyen las trayectorias ortogonales a
esa familia de esferas constituyen trayectorias zambullentes que permiten
pasar por ese túnel hipertórico y reaparecer en
otra hoja (o estratos) 3d.

...Esta
observación no es gratuita. Tendremos ocasión de volver a ella cuando pongamos
el modelo del agujero negro en examen. En efecto, en ese modelo,
cuando se penetra "en el interior de la esfera
horizonte" la masa de una partícula se vuelve... imaginaria pura (eso y bien
otras cosas más). Se está entonces en derecho de preguntarse si se está todavía
en la hipersuperficie espacio-tiempo. La elección particular de coordenadas

(t , r , q
, j)

que implica una topología
localmente hiperesférica (existencia de una coordenada
radial r, capaz de tomar valores inferiores al radio de la
esfera horizonte, de la esfera de Schwarzschild) ¿sería pertinente?

Un astrofísico conocido
escribía, hace algunos años:

• Ahora sabemos
  mucho más sobre el interior de los agujeros negros.

Pero los agujeros negros,
si existen, ¿tienen un interior, o corresponden a
una topología localmente hipertórica?

...Se
ve todo lo que puede inducir una elección de sistema de coordenadas.
La solución geométrica existe. Posee geodésicas.
Pero solo sabemos "leer" todo esto proyectándolo en nuestro espacio mental
de representación: un espacio tiempo euclidiano, que ni siquiera
es relativista. Elegir un sistema de coordenadas es elegir
un sistema de lectura, un sistema de proyección.
...Como los personajes de Platón, no podemos
sino observar sombras sobre una "pantalla euclidiana". Aún es necesario elegir
el buen objetivo del "sistema de proyección".

...

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