El contexto geométrico.
...Una esfera es un espacio de dimensión 2. Se necesitan dos parámetros para localizar un punto en ella. Es un espacio que tiene una topología (para más detalles sobre el significado de la palabra topología, véase mi cómic el Topologicon, Ed. Belin). Una esfera no tiene la misma topología, la misma "forma" que un toro. La esfera posee geodésicas. Se puede inscribir en ella un trayecto que une dos puntos M1 y M2 y medir la longitud s recorrida. Esta longitud es independiente de las coordenadas elegidas para localizar los puntos, al igual que las curvas geodésicas que pueblan la superficie.
...Unamos el centro de esta esfera a todos sus puntos. Obtenemos una infinidad de semirrectas. Estas pueden ser localizadas con el mismo sistema de localización que los puntos, por ejemplo dos ángulos q y j.
Arriba nuestra esfera.
Se ha hecho un agujero para mostrar el conjunto de los rayos vectores.
Quitemos ahora la esfera y no conservemos más que los rayos vectores.
...Se han truncado estas semirrectas, pero en realidad son infinitas. Cada una no está definida más que por la dádiva de dos parámetros, por ejemplo dos ángulos. La estructura métrica ha desaparecido. Más geodésicas, más longitudes. ¿Qué queda?
- Toda semirrecta tiene un entorno. Se pueden seleccionar semirrectas vecinas para encajar esta en una especie de cono. En el interior de este cono se puede hacer figurar uno más estrecho, que contiene la semirrecta. Es el asunto de los círculos concéntricos o de las muñecas rusas, pero con haces de semirrectas. Pero no se trata de trazar geodésicas sobre esos conos. Cada una de sus generatrices son simplemente un conjunto de dos parámetros, por ejemplo dos ángulos.
- Se distingue una idea intuitiva de diferenciabilidad. No hay discontinuidad en esa "textura".
Tomemos una superficie plana, con geodésicas, longitud, etc...
...Cualquiera que sea el sistema de coordenadas que elija siempre deberé localizar la posición de mis puntos con dos números reales (x,y), (r,q) etc...
Estos números reales se toman en R2, es decir, en el conjunto de los pares de números reales, como (3,8705 , - 17,56). Todo par de puntos tomado en este espacio de los pares de números reales tiene un entorno. Es "continuo".
Estos objetos "premétricos" se llaman variedades (los matemáticos tienen el don de elegir palabras que no tienen ningún poder evocador para el hombre de la calle).
...En esta etapa se puede pues saltar este paso que consiste en considerar un conjunto de n reales (espacio de n dimensiones), sin asociarle automáticamente una idea de longitud o de geodésicas.
...Es un poco como si se considerara una superficie cuyos puntos no tuvieran más restricción que la de mantener el contacto con sus vecinos. Sería infinitamente elástica y deformable. Por convención, si representamos una superficie por su contorno (sea su borde, sea su contorno aparente, evocaremos este concepto "móvil" de variedad quitando simplemente el contorno:
...Esta imagen evoca por lo demás la sombra del objeto. Y una sombra no tiene ni consistencia ni forma. Su geometría depende del objeto sobre el que se proyecta.
También se puede representar la variedad (en inglés manifold), sin su métrica, como una familia de rectas.
...Ahí, se han puesto rectas que parecen paralelas. Habría que hacer que estas rectas fueran... de cualquier manera, conservando sus relaciones de proximidad, de vecindad.
...Finalmente, una buena imagen de una variedad V2 es un paquete de espaguetis que primero se hace cocer, luego se puede plegar y torcer en todos los sentidos, pero sin modificar el orden de las pastas las unas con respecto a las otras.
Siempre es el caso que se puede efectuar sobre una variedad una operación de recubrimiento de dos hojas, que se dota de métricas, sugerida por la imagen siguiente:
Aquí dos hojas 2d dotadas de métricas idénticas (euclidianas). Pero se puede igualmente hacer:
...Se llamarán M y M* puntos conjugados. El hecho de decir que los dos espacios conjugados están construidos como el recubrimiento de dos hojas de una variedad significa simplemente que existe una correspondencia punto a punto entre las dos hojas F y F*, pero, por ejemplo, las distancias entre pares de puntos homólogos (M1,M2) , (M*1, M*2) pueden ser diferentes. La única restricción es finalmente que los entornos de puntos se correspondan igualmente y que a toda región no singular de una capa corresponda una región igualmente no singular.
...Se encuentra el paquete de fideos flexibles de hace un momento. La estructura de "variedad-esqueleto" no está ahí más que para construir la aplicación inyectiva entre los dos objetos geométricos. El dibujo de arriba está destinado a hacer estallar completamente preguntas como "¿cómo están dispuestas las hojas F y F* la una con respecto a la otra? Si F es un universo, ¿dónde está F*?". Estas hojas son simplemente conjugadas, con una correspondencia punto por punto y estos puntos conjugados pueden ser descritos por las mismas coordenadas.
Sumario
artículo Sumario
Ciencia Página
de Inicio
Página anterior Página
siguiente
Número de consultas de esta página desde el 1° de julio de 2004
: