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Curvaturas conjugadas.
...¿Cómo aprehender la idea de curvatura local, positiva o negativa, en un espacio de tres dimensiones? Tomemos una esfera. Clavemos un clavo en algún lugar. Atamos a él un hilo de longitud L y fijamos un lápiz en el otro extremo. Podremos trazar un círculo, que será un paralelo. Realicemos la misma operación con un plano y una silla de montar.
...En un plano, el perímetro es 2πL y la superficie del disco es πL².
...En la esfera, el perímetro y el área de la calota esférica son más pequeños. En una silla de montar, el perímetro y el área delimitada por esta curva cerrada son más grandes. Ejemplo: si tomamos una esfera de radio R y una longitud L igual a un cuarto del perímetro ecuatorial, es decir, πR/2:
...El área del disco es 3,875 veces mayor que el área de la calota esférica. Su perímetro es 1,57 veces mayor que el del ecuador.
...Realizando mediciones análogas sobre una superficie, se puede saber si la curvatura local es positiva o negativa. Situación análoga en 3D. Se toma entonces un punto, un hilo de radio L y se traza... una esfera. Si el área de esta esfera es más pequeña que el área euclidiana 4πL², se concluirá que la curvatura local es positiva. Si esta área es más pequeña que el área euclidiana 4πL², se concluirá que la curvatura local es negativa. La misma conclusión para el volumen. Contentémonos con estas ideas cualitativas. En tres y cuatro dimensiones se puede definir una longitud R, llamada curvatura escalar, que se calcula a partir de un tensor de curvatura.
...En el modelo cosmológico que presentamos, se decide conjugar dos láminas de universo de tal modo que los valores de las curvaturas escalares locales en puntos conjugados sean inversos:
R* = - R
...Esta es la forma puramente geométrica de considerar las cosas. Es entonces fácil dar una imagen didáctica 2D, salvo las reservas de rigor respecto al alcance real de tales representaciones. Es el dibujo de la figura siguiente:
Arriba, un posicónico romo. La curvatura local es nula sobre el tronco de cono y positiva en la calota esférica.
Abajo, un "negacónico romo". La curvatura es nula sobre el tronco de negacónico y negativa en la silla de montar.
...Se ha proyectado el objeto y las geodésicas sobre dos planos-espacio de representación euclidianos. El primero es el de un observador físicamente situado en la lámina F, que podrá así ver el objeto masivo, pero no la partícula testigo que viaja por la lámina F*.
La invisibilidad de un objeto situado en una lámina para un observador situado en la otra es de naturaleza puramente geométrica. Se supone que los fotones siguen geodésicas (particulares) de cada lámina. Unos fotones γ viajan por la lámina F (nuestra lámina de universo) y unos fotones γ*, que se podrán llamar "fotones fantasma" (ghost photons), viajan por la lámina F*, la "lámina fantasma" (ghost universe). El hecho de que las dos láminas formen un conjunto disjunto, no conexo, impide que cualquier fotón de una lámina pase a la otra.
...El "funcionamiento" de un sistema geométrico tal es menos complicado de lo que parece.
...La lámina F tiene su geometría, que está completamente descrita por una "métrica" g, a partir de la cual se construye su sistema de geodésicas. A partir de esta métrica g se puede construir un tensor geométrico S e identificarlo con un tensor T, que sea "fuente del campo", origen de esta curvatura, escribiendo la ecuación de Einstein:
S = c T
La geometría de la segunda lámina, tal que su curvatura escalar sea inversa, corresponde a una métrica g*, a partir de la cual se puede construir un tensor geométrico S*. La inversión de la curvatura se deriva simplemente de:
S* = - S = - c T
...Lo cual no significará absolutamente que g* = - g. Las ecuaciones son no lineales. La métrica g* también genera geodésicas.
...Consideremos una geodésica de la lámina F y representemos la curva correspondiente a los puntos conjugados, en la otra lámina. Esto no es una geodésica de esta última.
Inversamente:
...En esta etapa, ¿dónde estamos? Hemos dotado al universo (supuesto ser la lámina F, nuestro propio espacio-tiempo) de un hermano gemelo. La materia presente en nuestro universo (el tensor T) determina su geometría, pero también determina la del gemelo. Suponemos que nuestro universo contiene únicamente masas positivas y, más generalmente, partículas que poseen energías positivas. No contemplamos la posible presencia de masas negativas en nuestra lámina de espacio-tiempo. El tensor T es por tanto positivo, allí donde hay energía-materia, o nulo allí donde reina un vacío extremo. La curvatura local de F es por tanto nula o positiva, pero no puede ser negativa.
...Por el contrario, la curvatura de la lámina F* (se hablará entonces de curvatura inducida) es nula o negativa.
...Si existen partículas en esta lámina, suponemos que también siguen geodésicas de esta. ¿Qué observamos al mirar la figura anterior? El objeto sombreado, esta masa presente en nuestro universo, en la lámina F, se comporta como un objeto repulsivo (véase la curvatura de la trayectoria-geodésica) en la lámina F*.
...Hemos construido una solución matemática exacta correspondiente a este par de "métricas conjugadas" (g, g*). [Véase en el sitio: artículo Geometrical Physics B]. La solución g es idéntica a lo que hemos llamado las métricas de Schwarzschild exterior (en el exterior del astro) e interior (en el astro mismo). Proponemos llamar a la segunda métrica "Anti-Schwarzschild". [Véase en el sitio: Geometrical Physics A, 7, el artículo 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions.]
Con "materia fantasma".
En esta perspectiva de geometrías conjugadas, se puede invertir la situación y suponer que una masa (positiva) se encuentra presente en algún lugar de la lámina F*. Allí crea entonces una curvatura positiva y la imagen didáctica 2D de esta geometría corresponde al cono romo, a una solución de Schwarzschild, pero en la lámina F*.
...La misma observación para la forma en que los observadores de diferentes láminas perciben el efecto de esta masa sobre una partícula testigo que viaja por su universo.
...El examen del esquema anterior nos permite deducir las leyes de interacción entre la materia y la materia fantasma (ghost-matter), localizada en el segundo universo, el ghost universe.
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Dos partículas de materia se atraen.
-
Dos partículas de materia-fantasma se atraen.
-
Materia y materia fantasma se repelen.
...Se ve que esto es diferente del esquema sugerido por Souriau, según el cual las partículas de la segunda especie, además de repeler a las que constituyen nuestra materia, se repelían entre sí.
...La segunda geometría corresponde a la presencia de masas positivas m*, en la lámina F*. Se podrá definir allí una densidad de materia ρ* > 0 (o más precisamente de ghost energy-matter, ya que la segunda lámina, el ghost universe, contiene también "radiación fantasma", ghost photons y ghost neutrinos). La energía de las ghost particles es positiva, al igual que la presión p*.
...A partir de estas magnitudes se puede construir un tensor de energía-materia fantasma T* (el tensor energía-materia más general es un poco más que esto, pero esta descripción esquemática basta "para los usos habituales").
La ecuación de campo que da la geometría en la lámina F* es:
S* = c T*
La que da la geometría de F es:
S = -c T*
...Estas son las dos ecuaciones de antes, invertidas. En la lámina F la geometría es inducida, en el sentido de que es creada por materia M* situada en F* y por tanto invisible desde la lámina F.
...Ahora se puede considerar que las dos láminas estén pobladas cada una por su propia materia, de densidades ρ y ρ*.
Las métricas conjugadas se deducen entonces del sistema de ecuaciones:
S = c (T - T*)
S* = c (T* - T)
que da bien las curvaturas inversas:
R* = - R
Un universo tal puede pues presentar, en sus láminas, una curvatura cualquiera, positiva, negativa o nula.
Si la curvatura es localmente positiva en la lámina F es que:
T > T*
o:
ρ > ρ*
es entonces negativa en la región adyacente, conjugada, de la lámina F*.
Si la curvatura es localmente negativa en la lámina F es que:
T < T*
o:
ρ < ρ*
es entonces positiva en la región adyacente, conjugada, de la lámina F*.
Si la curvatura es nula en una región de la lámina F, es también nula en la lámina F*, lo cual significará bien que:
T = T* = 0 (las dos regiones están vacías)
o bien que:
T = T* (ρ = ρ*)
Newton y anti-Newton.
La ley de Newton se deduce de la ecuación de Einstein suponiendo:
-
Que la curvatura local es débil.
-
Que las velocidades son débiles frente a la velocidad de la luz.
-
Que el sistema es "cuasi-estacionario" (cosmológicamente hablando).
...Se deduce de la misma manera del sistema de ecuaciones de campo acopladas presentado más arriba. Véase:
J.P. Petit and P. Midy: Matter ghost matter astrophysics. 1: The geometrical framework. The matter era and Newtonian approximation. [véase en el sitio: Geometrical Physics A, 4, 1998, sección 4].
Se tiene pues la dinámica siguiente:
-
Dos partículas de materia m1 y m2 se atraen según la ley de Newton.
-
Dos partículas de ghost matter, de "materia-fantasma" m1 y m2 se atraen según la ley de Newton.
-
Dos partículas m y m*, pertenecientes a láminas diferentes, se repelen según "anti-Newton".
Acerca de las pruebas de la Relatividad General.
...El modelo no está en contradicción con estas. En efecto, como la materia y la ghost matter se repelen, allí donde hay una concentración de materia (por ejemplo nuestra galaxia), en la porción adyacente, conjugada, del ghost universe, reina un vacío extremo: la materia ha hecho limpieza repeliendo las masas fantasma lejos.
En la vecindad del sol el tensor T* (ghost matter) es por tanto despreciable frente a T (materia) y la ecuación de campo se convierte en:
S ≈ c T
es decir la ecuación de Einstein, que se presenta entonces como una forma aproximada de una ecuación "gemelar".
Conclusión de esta parte de geometría.
**...**Todo está ahora en su sitio para intentar explotar una idea nueva, la de un universo en interacción permanente con un universo fantasma, cuya existencia solo se revelaría a nosotros a través de la acción sobre el campo gravitatorio.
...En el artículo: "J.P. Petit and P. Midy: Geometrization of antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3: Twin group. Matter anti-matter duality in the ghost space. Reinterpretation of the CPT theorem. [Véase en el sitio: Geometrical Physics B, 1-3], 1998.", la estructura gemelar es abordada de manera diferente: a través de la teoría de grupos (grupo gemelo). Se verá en particular que la dualidad materia-antimateria existe en las dos láminas. En el ghost universe existe ghost matter y anti-ghost matter.
...Conocemos la aproximación newtoniana. Podemos por tanto realizar simulaciones numéricas. También podemos intentar construir soluciones analíticas. También deberemos, para ser completos, producir un modelo de evolución cosmológica, que llamaremos Twin Bang, ya que afecta a los dos universos.
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