a4103
| 3 |
|---|
Groupe de translations :
Considérons un espace à 2 dimensions (x,y). Dans un tel espace, une translation est définie par un vecteur de translation (Dx,Dy). On écrit habituellement :
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
Pour obtenir les nouvelles valeurs x' et y', nous utilisons l'addition. Pourrions-nous obtenir les mêmes résultats par une .....multiplication ?
Considérons les matrices suivantes :
(28)
On remarque qu'elles sont définies par deux paramètres indépendants Dx et Dy. La dimension du groupe est donc 2.
Forme :
(29)
On remarque que cela diffère fondamentalement de la multiplication matricielle simple
(30) g x r
Il s'agit d'une action particulière du groupe.
(31)
Par ailleurs, on peut considérer des translations dans des espaces à 3D ou 4D. Les matrices carrées correspondantes, formant des groupes, sont :
(32)
(33)
L'action correspondante est :
(34)
Le groupe des translations est commutatif. Son élément neutre est la translation nulle.
Groupes de matrices : pourquoi ?
...Avec les groupes de matrices, nous pouvons combiner plusieurs opérations en une seule, en une seule action. Considérons les matrices suivantes et l'action suivante :
(35-1)
...Nous combinons deux éléments : une rotation (d'angle a), plus une translation (Dx,Dy).
L'élément g du groupe G agit sur l'espace r = (x,y), non "directement", mais à travers une action plus raffinée. Ce groupe
(35-2)
appelé "groupe spécial euclidien SE(2)", agit sur l'espace à 2 dimensions. Ce nom sera expliqué ultérieurement.
Quelle est sa dimension ? Elle dépend de trois paramètres libres : (a, Dx, Dy), donc sa dimension est trois. Nous pouvons l'écrire :
gSE (a, Dx, Dy)
Sous-groupes.
Pour nous, un groupe est un ensemble de matrices carrées. Parmi cet ensemble, nous pouvons trouver des sous-ensembles.
gSE (0, Dx, Dy) est le sous-groupe des translations. gSE (a, 0, 0) est le sous-groupe des rotations autour de l'origine 0. gSE (0, Dx, 0) est le sous-groupe des translations parallèles à l'axe OX.
Le groupe ci-dessus transporte des points. Ces points n'ont aucune caractéristique particulière. Ce sont... des points, rien d'autre.
...Mais plus tard, d'autres groupes, décrivant le monde physique, transporteront des points ayant des caractéristiques différentes, des « attributs » : masse, énergie, impulsion, spin...
Avec le groupe ci-dessus, seules les collections de points sont intéressantes à transporter. Ici apparaît le concept fondamental de :
Espèce.
...Notre premier groupe transporte des objets géométriques, qui sont des ensembles de points, des figures géométriques ("rigides"). Le plus simple ensemble est composé de deux points. Considérons des couples de points dans un espace à 2D :
(35-3)
...Sur la figure (35-3), deux couples de points (A,B) et (A',B') ont été représentés. Je peux trouver un élément du groupe qui transforme (A,B) en (A',B') : en combinant une rotation autour du point O et une translation. Voir la figure (35-4).
(35-4)
Maintenant, considérons les deux couples :
(35-5)
Impossible de trouver un élément g (matrice carrée) de mon groupe G qui puisse transporter (A,B) sur (A",B"). Je dirai que :
(A,B) et (A',B') appartiennent à la même espèce.
(A,B) et (A",B") appartiennent à des espèces différentes.
La caractéristique d'une espèce de couples de points s'appelle longueur.
C'est la définition de la longueur en termes de théorie des groupes.
...Comment pouvez-vous affirmer que deux segments ont la même longueur ? Parce que vous pouvez les comparer, en superposant l'un sur l'autre.
...Dans notre groupe, deux segments dont les longueurs sont différentes appartiennent à des espèces différentes, car notre groupe ne permet pas les dilatations ou les contractions (transformations homothétiques). Le groupe qui s'en charge est un autre groupe ("groupe spécial cartésien") :
(35-6)
Par rapport à ce groupe, tous les couples de points forment la même espèce. La dimension de ce groupe est quatre.
Au lieu de deux points, nous pourrions considérer trois ou quatre points, ces derniers formant par exemple des carrés.
(36)
...Par rapport au groupe (35-1), les carrés dont les côtés ont la même longueur appartiennent à la même espèce. Mais si les côtés de deux carrés sont fondamentalement différents :
(37)
ils appartiennent à des espèces différentes.
Ce groupe, qui règle les translations en 2D et les rotations autour d'un point fixe d'un plan, est le groupe spécial euclidien : SE(2).
Maintenant, nous pouvons facilement imaginer un groupe similaire agissant sur un espace à 3D. Les groupes des translations en 3D et 4D ont été donnés en (32) et (33).
Nous pouvons facilement imaginer un groupe décrivant les translations dans un espace à n dimensions. Mais que devient la rotation ?
...Nous pouvons imaginer une rotation dans un espace à 3D. Nous pouvons même l'écrire à l'aide d'une matrice contenant trois angles, les angles d'Euler : sa dimension est donc trois.
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
a4103
| 3 |
|---|
Group of translations :
Consider 2d space (x,y). In such space a translation is defined by translation vector ( Dx,Dy). We use to write :
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
To get the new values x' and y' we use addition . Could we get the same results through a ..... multiplication ?
Consider the following matrixes :
(28)
Notice they are defined by two independent parameters Dx and Dy. Then the dimension of the group is 2.
Form :
(29)
Notice this is basically different from the simple matricial multiplication
(30) g x r
It is a peculiar group's action.
(31)
By the way, notice we can consider translations in 3d or 4d spaces. The corresponding square matrixes, forming groups, are
(32)
(33)
The corresponding action is :
(34)
The group of translations is commutative. Its neutral element is the null-translation.
Groups of matrixes : why ?
...With matrixes' groups we can combine several operations into a single one, into a single action. Consider the following matrixes and the following action :
(35-1)
...We combine two things : a rotation ( angle a ), plus a translation (Dx,Dy).
The element g of the group G acts on space r = (x,y), not "directly" but through some more refined "action". This group
(35-2)
called "Special Euclid's group SE(2) ", acts on 2d space. This name will be explained further.
What is its dimension ? It depends on three free parameter : (a , Dx , Dy), so that its dimension is three. We may write :
gSE (a, Dx ,Dy)
Sub-groups.
For us, a group is a set of square matrixes. Among this set we can find sub-sets.
gSE (0, Dx, Dy) is the sub-group of translations. gSE (a, 0, 0) is the sub-group of rotations around the origin 0 . gSE (0, Dx, 0) is the sub-group of translation parallel to the axis OX.
The above group carries points. These point own no peculiar characteristics. They are... points, nothing else.
...But, later, other groups, which describe physical world, will carry points which will have different characteristics, "attributes" : mass, energy, impulsion, spin....
With the above group only sets of points are interesting to carry. Here appears the fundamental concept of :
Species.
...Our first group carries geometrical objects, which are sets of points, geometrical ("rigid") figures. The most simple set is composed by two points. Consider couples of points in a 2d space :
(35-3)
...On figure (35-3) two couples of points (A,B) and (A',B') have been figured. I can find an element of the group that transforms (A,B) into (A',B') : combining a rotation around the point O and a translation. See figure (35-4).
(35-4)
Now consider the two couples :
(35-5)
Impossible to find any element g ( square matrix ) of my group G which can carry (A,B) on (A",B"). I will say that:
(A,B) and (A',B') belong to a same species.
(A,B) and (A",B") belong to different species.
The characteristic of a species of couples of points is called length .
This is the definition of length in terms of group theory.
...How can you affirm that two segments have the same length ? Because you can compare them, putting one onto the other one.
...In our group two segments, whose lengths, are different belong to different species, because our group does not rule dilatations or contractions ( homothetic transforms ). The group which takes that in charge is a different one ("Special Descartes' group" ):
(35-6)
with respect to such group all couples of points form the same species. The dimension of this group is four.
Instead two points, we could consider three or four, these last forming squares, for an example.
(36)
...With respect to the group (35-1), squares whose sides have the same length belong to the same species. But if the sides of two squares are basically different :
(37)
they belong to different species.
This group, ruling 2d translation and rotations around a fixed point of a plane is the Special Euclid's group : SE(2).
Now we imagine easily a similar group acting on a 3d space. The group of 3d and 4d translations were given in (32) , (33).
We can imagine easily a group describing translations in a n-dimensional space. But what about rotations ?
...We can imagine rotation in a 3d space. We can even write it with a matrix which contains three angles, the Euler angles : then its dimension is three.