گروه‌ها و عملیات هم‌هم‌خوان فیزیکی تکانه

گروه‌ها و عمل ادیون گروهی فیزیکی تکانه

عنصر gp از گروه پوانکاره Gp با دنباله‌ای از پارامترهای {pi} تعریف می‌شود که، همان‌طور که قبلاً گفته شد، تعداد آن‌ها برابر با بعد گروه است. ماتریس dg (g = e) از کمیت‌های {dpi} ساخته می‌شود. بنابراین، کاربرد فوق از نوع زیر است:

(81)

به عبارت دیگر، به یک مجموعه از اسکالرهاي dpi، تعدادی برابر از اسکالرهاي dpi' نسبت داده می‌شود. دوگانگی این امر با فرض ناوردا بودن یک اسکالر، به صورت زیر است:

(82)

که در آن n بعد گروه است (ده، برای گروه پوانکاره). اسکالرهای Ji نشان‌دهنده مؤلفه‌های تکانه هستند که تعدادی برابر دارند.

ما تصمیم می‌گیریم این تکانه J را به دو جسم تجزیه کنیم. اولین جسم یک ماتریس M ضد متقارن با ابعاد (4,4) است که دارای شش مؤلفه است، و دومی یک "چهاربردار" P با ابعاد (4,1) است:

(83)

(84) J = { M , p , E} = { M , P }

ما ضرب داخلی را به صورت زیر می‌نویسیم:

(85)

Tr به معنای "ترایس" است، و داریم:

(86)

که یک فرم خطی است که ناوردا بودن آن، دوگانگی را تضمین می‌کند.

با توجه به:

(87) (87b)

(87c)

اما GG = 1، بنابراین این عبارت برابر است با:

(88)

جملات مربوط به y را شناسایی می‌کنیم (89)

به این معنا که:

(90)

----> در اینجا جزئیات محاسبات ماتریسی ادامه می‌یابد. اگر مایل هستید، با کلیک کردن اینجا مستقیماً به نتیجه برسید.

در ترایس می‌توانیم جایگشت چرخشی انجام دهیم.

(90a)

(90b)

(90c)

جمله دوم سمت راست برابر با حاصلضرب یک ماتریس سطری در یک ماتریس ستونی است.

این برابر با ترایس حاصلضرب معکوس است (در ادامه به صورت نمادین، حاصلضرب یک ماتریس سطری در یک ماتریس ستونی نشان داده شده است):

(90d)

در این ترایس می‌توانم جایگشت چرخشی انجام دهم:

(90e)

بنابراین:

(90f)

(90g)

در اینجا دوباره از قضیه ترایس ماتریس‌ها که حاصلضرب یک ماتریس دیگر در یک ماتریس متقارن است، استفاده می‌کنیم.

هر ماتریسی می‌تواند متقارن یا ضدمتقارن شود. علاوه بر این، ترایس حاصلضرب یک ماتریس در یک ماتریس متقارن صفر است.

(90h)

می‌توانم این را به ماتریس (90i) اعمال کنم، زیرا ترایس گرفته می‌شود:

(90j)

(90k) = متقارن ( ) + ضدمتقارن ( )

اما:

(90l)

بنابراین:

(90m) (90n)

(90o)

(90p)

و:

(90q)

در نهایت:

(90r)

با جمع‌بندی و جابجایی علامت اُرِن (prime) به سمت دیگر، عمل گروه را به دست می‌آوریم:

تصاویر