فضای توپولوژی مدل ریاضیاتی

ایتالیایی: آندره سامبوسیتی، دانشگاه رم

اینجا کلیک کنید تا طرح مدل به مقیاس 1:1 نمایش داده شود، که می‌توانید چاپ و برش دهید.
با چاپ چهار نمونه از این طرح روی کاغذ برشی دو رنگ، می‌توانید خودتان مدل را بسازید، مطابق دستورالعمل‌های نصب.

شما حتماً یک شیء عجیب را در سمت چپ صفحه اول این وب‌سایت می‌بینید که بدون توقف می‌چرخد. این چیست؟

روزی که زمان کافی پیدا کنم، روی این وب‌سایت توضیحی از معکوس‌کردن کره را نصب خواهم کرد، همان‌طور که در شماره مجله Pour la Science در ژانویه 1979 نشان داده بودم، یعنی... 22 سال پیش! این کار نیازمند جزئیات زیادی و مقدمه‌ای است. معنای "معکوس کردن یک کره" چیست؟ برای فرد معمولی، کره تنها مجموعه‌ای از نقاط فضایی است که فاصله آن‌ها از یک نقطه ثابت O برابر R است. اما یک هندسه‌دان همچنان به یک شیء که معادل یک "کره تغییرشکل‌یافته" است، مانند یک سیب زمینی، همچنان "کره" می‌گوید. برای درک دقیق‌تر این مفاهیم، CD Lanturlu حاوی کمیک "Topologicon" را تهیه کنید. اما ریاضیدانان از اینجا فراتر می‌روند. یک سطح در هر نقطه‌اش دارای یک صفحه مماس، "منظم" نامیده می‌شود. این امر امکان بی‌نهایت تغییرشکل‌های منظم کره را فراهم می‌کند، در بی‌نهایت شکل‌های ممکن یک سیب زمینی، و همچنین می‌توان مساحت این سطح را به صورت دلخواه تغییر داد. با این حال، در جهان فیزیکی، یک فرد که سعی کند کره را معکوس کند (یعنی سطح داخلی را به بیرون ببرد)، با امکان‌پذیری این کار مواجه خواهد شد. وقتی این فرضیه مدنظر است، یعنی اجازه داده نشود که سطح خودش را قطع یا حتی لمس کند، ریاضیدان به این مفهوم "جایگذاری" کره S2 می‌گوید. اما ریاضیدانان همیشه همه چیز را مجاز می‌دانند. برای آن‌ها، یک کره یک شیء "مجازی" و غیرمادی است، که عبور یک سطح از روی خودش مجاز است. دنباله‌ای از طرح‌ها در زیر نشان می‌دهد که یک کره خودش را قطع می‌کند. یک نمایش چنین نوعی که اجازه عبور خودش را داشته باشد، "غوطه‌وری" نامیده می‌شود.

بنابراین یک غوطه‌وری دارای مجموعه‌ای از تقاطع‌های خود (در اینجا یک منحنی دایره‌ای ساده است). اما صفحه مماس باید به صورت پیوسته تغییر کند. با این فرض، وقتی به طرح بالا نگاه می‌کنید، به وضوح می‌بینید که این عمل بخشی از سطح داخلی (که به رنگ سبز نشان داده شده) را به بیرون می‌برد. برای کامل کردن معکوس‌کردن، باید این نوع لوله‌ای استوایی فشرده شود. اینجا به نظر می‌رسد مشکلی وجود دارد: این فشردگی پیوستگی صفحه مماس را نابود می‌کند و بنابراین این تبدیل شامل یک مرحله است که خودش یک غوطه‌وری نیست.

روزی یک ریاضیدان آمریکایی به نام استیوین اسمال ثابت کرد که "کره S2 تنها یک کلاس غوطه‌وری دارد". این جمله مبهم نتیجه‌ای داشت که می‌توانست از کره "استاندارد" به نمایش "ضدقطبی" آن، یعنی جایگزینی هر نقطه با نقطه مقابل آن، از طریق یک تبدیل که تنها شامل غوطه‌وری‌های واقعی باشد، منتقل شود؛ به عبارت ساده، یک کره معکوس شده. راول بوت رییس اسمال بود. هرچند اثبات ریاضی این مطلب به نظر دقیق می‌آمد، هیچ کسی قادر به انجام عملی این معکوس‌کردن نبود. بوت همیشه از اسمال می‌پرسید: "بگویید چطور فکر می‌کنید این کار را انجام دهید؟" و اسمال، به طور مشهود بدون تردید، پاسخ می‌داد: "هیچ ایده‌ای ندارم." بعداً اسمال جایزه فیلد، معادل نوبل در ریاضیات، را دریافت کرد. به عنوان یادداشت، شاید بپرسید چرا جایزه نوبل برای ریاضیات وجود ندارد. پاسخ ساده است: همسر او با یک ریاضیدان فرار کرده بود.

این وضعیت برای مدت طولانی ادامه یافت، تا اینکه یک ریاضیدان آمریکایی به نام آنتونی فیلیپس در سال 1967 در مجله Scientific American نسخه اول این معکوس‌کردن را منتشر کرد که بسیار پیچیده بود. نسخه دوم توسط ریاضیدان فرانسوی (نابینا) به نام برنار مورین در اوایل دهه 1970 ابداع شد. من اولین کسی بودم که دنباله تبدیل‌ها را رسم کردم، که همان‌طور که اعلام کردم، موضوع مقاله بعدی این وب‌سایت خواهد بود، که در واقع بسیار فراوان است. با این حال، همه این موارد ما را به یک نکته مهم می‌رساند. سطوح می‌توانند به صورت چندوجهی نمایش داده شوند. مکعب یا چهاروجهی می‌توانند به عنوان نمایش‌های چندوجهی کره در نظر گرفته شوند، به این معنی که این اشیاء هم‌توپولوژیک هستند. در این مورد، به کتاب Topologicon من مراجعه کنید. همچنین درک می‌شود که اگر بتوان کره را معکوس کرد، می‌توان مکعب را نیز معکوس کرد. تبدیلی که برنار مورین ابداع کرد (که در مقاله ژانویه 1979 در Pour la Science نشان داده شده) از یک مدل مرکزی عبور می‌کند. در این دنباله، یک تقارن وجود دارد. آن را "مدل مرکزی با چهار گوش" می‌نامم. من به جلوی مطالب دارم. با این حال، همان‌طور که کره به نمایش‌های چندوجهی مناسب است، همین امکان برای مراحل بعدی این تبدیل نیز وجود دارد. آنچه که در صفحه اول من می‌چرخد، نسخه چندوجهی مدل مرکزی معکوس‌کردن کره است که حدود ده سال پیش ابداع کرده‌ام. جذابیت این مدل‌های چندوجهی در این است که با سطوح صاف ساخته می‌شوند. همچنین می‌توان آن‌ها را با کاغذ و قیچی ساخت. به طرح زیر نگاه کنید (از طریق پرانتز، از دوستم کریستوف تاردو تشکر می‌کنم که عناصر به اندازه مناسب را تولید کرده است).

بزرگ

این یک طرح نصب است که در اینجا یک نمای کلی از آن داریم. اما برای چاپ کردن، بهتر است به صفحه découpage بروید. آن را چاپ کنید. سپس، با این نمونه چاپ شده روی کاغذ معمولی چاپگر خود، چهار نسخه یکسان چاپ کنید، دو تا روی کاغذ برشی سبز و دو تا زرد. با استفاده از این صفحات برش‌شده، می‌توانید مدل مرکزی معکوس‌کردن مکعب را بسازید.

در قطعات برش‌شده جفت‌های حروف وجود دارند: a، b، c، d، e، f و غیره... کافی است کاغذ را طوری تا بزنید که حروف یکسان هم‌پوشانی کنند و سپس صفحات را با نوار چسب شفاف به هم بچسبانید. طرح‌های بعدی روش نصب یکی از چهار قطعه را نشان می‌دهند. ابتدا باید یکی از چهار قطعه را چگونه تا بزنیم، اینطوری شروع کنید:

این دو تا از چهار قطعه، از زوایای مختلف دیده شده‌اند.

سپس این قطعات را طوری قرار می‌دهیم که یک شیء با تقارن مرتبه چهار ایجاد شود، به طوری که قطعات سبز و زرد به صورت متناوب قرار بگیرند. برای دیدن آن در سه بعد، به اجرا کردن تاردو در بخش "واقعیت مجازی" نگاه کنید. مدل مرکزی در این بخش نصب و حتی به صورت "vrml" ساخته شده است. این مدل از چندین زاویه مختلف نمایش داده شده است:

نمی‌توان گفت که یک زاویه "بالا" و دیگری "پایین" است، زیرا این نام‌ها کاملاً دلخواه هستند. در تصویر سمت چپ، نقطه "مرکزی" با "نقطه دوگانه" (جایی که دو سطح هم‌پوشانی می‌کنند) مدل مرکزی مورین مطابقت دارد، در حالی که نقطه مرکزی تصویر سمت راست با "نقطه چهارگانه" همان مدل (جایی که چهار سطح هم‌پوشانی می‌کنند) مطابقت دارد. من باید شیء را با دقت زیادی جهت‌دهی کرده بودم تا تصویر سمت چپ به شکل یک سیم‌باز نشان داده نشود. علاوه بر این، از دیدگاه معماری، این نمایش چندوجهی مدل مرکزی مورین می‌توانست پروژه‌ای زیبا برای "خانه فرهنگ ملی اجتماعیستی" باشد.

یک نکته آخر: هیچ نمایش چندوجهی خوبی از معکوس‌کردن کره (یا مکعب) وجود ندارد. به "خوب" منظورم دنباله‌ای از مدل‌ها است که به اندازه کافی واضح باشند و بتوانند به صورت نسبتاً آسان به صورت صفحات برش‌شده توصیف شوند، مانند مدل بالا. این جهت می‌تواند مورد مطالعه قرار گیرد، که هر کسی، حتی یک غیرریاضیدان، مثلاً یک مجسمه‌ساز، بتواند به آن بپردازد. بیش از بیست سال پیش، من معلم مجسمه‌سازی در Ecole des Beaux-Arts در Aix en Provence بودم، زمانی که رئیس آن، دوست نزدیک من، جاکس بولیه بود. در آن فضای آموزشی، اولین نمایش نیم‌روزی سطح بیو از طریق بیضی‌ها، کلید ساخت معادله ضمنی اولیه توسط آپری، به وجود آمد. باید بگویم که حتی در آن زمان، با توانایی هندسی دانشجویان هنر، که اغلب از هندسه‌دانان بیشتر بود، شگفت‌زده شدم.

شمارنده در تاریخ 31 دسامبر 2001 نصب شد. تعداد اتصالات:

بازگشت به صفحه جدیدها صفحه اصلی

تصاویر