فضای توپولوژی مدل ریاضیاتی
ایتالیایی: آندره سامبوسیتی، دانشگاه رم
اینجا کلیک کنید تا طرح مدل به مقیاس 1:1 نمایش داده شود که میتوانید چاپ و برش دهید. با چاپ چهار نمونه روی کاغذ برشبری دو رنگ مختلف، میتوانید خودتان مدل را ساخته و مطابق دستورالعملهای نصب آن به کار بگیرید.
حتماً شیء عجیبی را که بدون توقف در سمت چپ صفحه اصلی این وبسایت میچرخد دیدهاید. این چیست؟
یک روز، وقتی فرصت پیدا کنم، روی این وبسایت توضیحی درباره وارونگی کره را قرار خواهم داد، همانگونه که در شمارهی مجله Pour la Science در ژانویه 1979 آن را نشان داده بودم، یعنی... 22 سال پیش! این کار نیازمند جزئیات فراوان و مقدمهای است. "وارون کردن یک کره" به چه معناست؟ برای مردم عادی، کره تنها مجموعهای از نقاط فضایی است که به فاصلهی R از یک نقطهی ثابت O قرار دارند. اما یک هندسهدان همچنان به یک شیء "کرهی تغییرشکلیافته" مانند یک سیب زمینی نیز "کره" میگوید. برای درک دقیقتر این مفاهیم، CD لانتورلو را که کمیک "توپولوژیکون" را شامل میشود، تهیه کنید. اما ریاضیدانان از اینجا هم فراتر میروند. یک سطح زمانی که در هر نقطهی آن بتوان یک صفحهی مماس تعریف کرد، "منظم" نامیده میشود. این امکان را فراهم میکند که بینهایت تغییرشکل منظم ممکن برای کره را در بینهایت شکلهای ممکن یک سیب زمینی، با تغییر دلخواه مساحت آن سطح، در نظر بگیریم. با این حال، در جهان فیزیکی، یک فردی که بخواهد کره را وارون کند (یعنی سطح داخلی را به بیرون ببرد) با امکان واقعی این کار مواجه خواهد شد. وقتی این فرض را میپذیریم، یعنی اجازهی عبور یا حتی تماس سطح با خودش را ممنوع میکنیم، ریاضیدان به این مفهوم "جایگذاری" (embedding) کره S2 میگوید. اما ریاضیدانان همیشه تمام امکانات را دارند. برای آنها، کره یک شیء "مجازی" و غیرمادی است که عبور یک سطح از دیگری ممکن است. دنبالهی تصاویر زیر نشاندهندهی یک کرهی که خودش را عبور میدهد است. یک نمایش چنین نوعی که اجازهی عبور خودش را میدهد، "غوطهوری" (immersion) نامیده میشود.
بنابراین، یک غوطهوری دارای مجموعهای از عبورهای خودی است (در اینجا یک منحنی دایرهای ساده است). با این حال، صفحهی مماس باید به صورت پیوسته تغییر کند. با این فرض، وقتی به تصویر بالا نگاه میکنیم، مشخص است که این عملیات بخشی از سطح داخلی (که به رنگ سبز نشان داده شده) را به بیرون میبرد. برای کامل کردن وارونگی، باید این نوع لولهای استوایی را فشرده کرد. در اینجا به نظر میرسد مشکلی وجود دارد: این فشردگی پیوستگی صفحهی مماس را نابود خواهد کرد و بنابراین این تبدیل شامل یک مرحلهی است که یک غوطهوری نیست.
یک روز، ریاضیدان آمریکایی، استیوین اسمال، ثابت کرد که "کره S2 تنها یک کلاس غوطهوری دارد". این جملهی مبهم پیامدی داشت که میتوانستیم با یک تبدیلی که فقط شامل غوطهوریهای واقعی باشد، از کرهی "استاندارد" به نمایش "ضدقطبی" آن برسیم، یعنی جایی که هر نقطه با نقطهی مقابل آن جایگزین میشود: به زبان ساده... یک کرهی وارون شده. راول بوت، رهبر اسمال بود. هرچند اثبات ریاضی این مطلب به نظر معتبر بود، هیچکسی نتوانست این عمل وارونگی را به صورت عملی انجام دهد. بوت همچنان به اسمال میگفت "ببین چطور فکر میکنی این کار را انجام دهی؟" و اسمال، که به طور مشهود بیپرده بود، پاسخ میداد "اصلاً ایدهای ندارم". بعداً اسمال جایزهی فیلد، معادل نوبل در ریاضیات، را دریافت کرد. به عنوان یادداشت، شاید این سوال برای شما پیش بیاید که چرا جایزهی نوبل برای ریاضیات وجود ندارد. پاسخ ساده است: همسر او با یک ریاضیدان فرار کرده است.
این وضعیت برای مدت طولانی ادامه داشت، تا اینکه ریاضیدان آمریکایی به نام آنتونی فیلیپس در سال 1967 در مجله Scientific American نسخهی اول این وارونگی را منتشر کرد که بسیار پیچیده بود. نسخهی دوم توسط ریاضیدان فرانسوی نابینا به نام برنارد مورین در اوایل دههی 1970 ابداع شد. من اولین کسی بودم که دنبالهی تبدیلها را رسم کردم که همانطور که اعلام کردم، موضوع مقالهای در این وبسایت خواهد بود، که به طور کامل تکمیل شده است. با این حال، این مطلب به یک نکتهی مهم منجر میشود. سطوح میتوانند به شکل چندوجهی نمایش داده شوند. مکعب یا چهاروجهی میتوانند به عنوان نمایشهای چندوجهی کره در نظر گرفته شوند، به این معنا که این اشیاء توپولوژی یکسانی دارند. در این زمینه، به کتاب "توپولوژیکون" من مراجعه کنید. علاوه بر این، مشخص است که اگر بتوان کره را وارون کرد، به همان اندازه میتوان مکعب را نیز وارون کرد. تبدیلی که برنارد مورین ابداع کرد (که در مقالهی ژانویه 1979 در Pour la Science نشان داده شده است) از یک مدل مرکزی عبور میکند. در این دنباله، یک تقارن وجود دارد. آن را "مدل مرکزی با چهار گوش" مینامم. من این مطلب را از پیش توضیح دادم. با این حال، همانطور که کره به نمایشهای چندوجهی مناسب است، این ویژگی برای مراحل بعدی این تبدیل نیز صدق میکند. شیءی که در صفحهی اصلی من میچرخد، نسخهی چندوجهی مدل مرکزی وارونگی کره است که حدود ده سال پیش ابداع کردهام. جذابیت این مدلهای چندوجهی این است که میتوانند با سطوح صاف ساخته شوند. میتوانند همچنین با کاغذ و قیچی ساخته شوند. به طرح زیر نگاه کنید (از طرفی از دوستم کریستوف تاردو تشکر میکنم که عناصر با اندازهی مناسب را تولید کرده است).
این یک نقشهی نصب است که نمای کلی آن در اینجا دیده میشود. اما برای چاپ کردن، بهتر است به صفحهی "برش" بروید. آن را چاپ کنید. سپس با این نمونهی چاپ شده روی کاغذ معمولی چاپگر خود، چهار نسخهی یکسان چاپ کنید، دو تا روی کاغذ برشبری سبز و دو تا روی کاغذ زرد. با استفاده از این صفحات برشخورده، قادر خواهید بود مدل مرکزی وارونگی مکعب را بسازید.
روی قطعاتی که باید برش دهید جفتهای حروف وجود دارد: a, b, c, d, e, f و غیره... کافی است کاغذ را طوری تا بزنید که حروف یکسان همپوشانی کنند و سپس سطوح را با نوار چسب شفاف به هم بچسبانید. تصاویر زیر روش نصب یکی از چهار قطعه را نشان میدهند. ابتدا باید یکی از چهار قطعه را چگونه تا بزنیم، به این شکل شروع کنید:
این دو تا از چهار قطعه، از زوایای مختلف دیده شدهاند.
سپس به گونهای قرار میدهیم که شیء حاصل دارای تقارن مرتبهی چهار باشد، به طوری که قطعات سبز و زرد به صورت متناوب قرار بگیرند. برای دیدن آن به صورت سهبعدی، به نمونهی تولید شده توسط تاردو در بخش "واقعیت مجازی" نگاه کنید. مدل مرکزی در این بخش نصب شده و حتی به صورت "vrml" نیز ساخته شده است. این مدل از دیدگاههای مختلف بازتولید شده است:
نمیتوان گفت که یک دیدگاه "بالا" و دیگری "پایین" است، چرا که این نامها کاملاً دلخواه هستند. در تصویر سمت چپ، نقطهی "مرکزی" با "نقطهی دوگانه" (جایی که دو سطح همپوشانی میکنند) مدل مرکزی مورین همپوشانی دارد، در حالی که نقطهی مرکزی تصویر سمت راست با "نقطهی چهارگانه" همان مدل همپوشانی دارد (جایی که چهار سطح همپوشانی میکنند). من باید شیء را با دقت زیادی جهتدهی کرده بودم تا تصویر سمت چپ به شکل یک سیمباز نشان داده نشود. به غیر از این، از نظر معماری، این نمایش چندوجهی مدل مرکزی مورین میتوانست پروژهای جذاب برای "خانهی فرهنگ ملی سوسیالیستی" باشد.
نکتهی آخر: نمایش چندوجهی مناسبی برای وارونگی کره (یا مکعب) وجود ندارد. منظور از "مناسب" این است که دنبالهای از مدلها وجود داشته باشد که به اندازهای واضح باشند که بتوانند به صورت سادهای به صورت صفحات برشخورده توصیف شوند، مانند مدل بالا. این جهت نیازمند مطالعهای است که هر کسی، حتی یک غیرریاضیدان، میتواند انجام دهد، مثلاً یک مجسمهساز. بیش از بیست سال پیش، معلم مجسمهسازی در مدرسهی هنرهای زیبای آکس-آن-پروونس بودم، هنگامی که رئیس آن، دوست عزیزم جاکس بولیه، بود. در آن فضای آموزشی، اولین نمایش نیمروزی سطح بوی با استفاده از بیضیها به وجود آمد، که کلید ساخت معادلهی ضمنی اولیهی آپری بود. باید بگویم که همان زمان، از خیالپردازی هندسی دانشجویان هنری شگفتزده شدم، که اغلب از خیالپردازی... هندسهدانان نیز فراتر بود.
شمارنده در تاریخ 31 دسامبر 2001 نصب شد. تعداد اتصالات:
بازگشت به صفحهی اخبار صفحهی اصلی
تصاویر
