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in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta)
passando per la superficie romana di Steiner.
Jean-Pierre Petit
Italiano : Andrea Sambusetti, università di Roma
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27 settembre - 25 ottobre 2003
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in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta)
passando per la superficie romana di Steiner.
Jean-Pierre Petit
Italiano : Andrea Sambusetti, università di Roma
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27 settembre - 25 ottobre 2003
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27 settembre - 25 ottobre 2003
Come trasformare una superficie Cross Cap
in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta)
passando per la superficie romana di Steiner.
Italiano : Andrea Sambusetti, università di Roma
27 settembre - 25 ottobre 2003
pagina 1
Questo, come direbbe Kipling comporta "grande astuzia e forza magica".
Sono in pensione ma, mi sento di dirlo, faccio sempre un po' di ricerca "malgrado me", come altri, nel loro tempo libero, sferruzzano. Se avete pazienza e vi procurate dei cartoncini bristol da 200 gr. a quadretti, potrete ricostruire voi stessi tutti questi modelli. Il mio amico Christophe Tardy sta costruendo, a partire da essi, un'animazione che non dovrebbe venire male.
La superficie Cross Cap apparirà nei disegni che seguiranno, così come la superficie romana di Steiner. Ma potete scoprirle andando alla sezione Virtual Reality, per vedere la quale è necessario scaricare il programma Cosmoplayer sul vostro computer. Fatelo, è veramente carino. Tutto si gioca attorno ai "punti cuspidali". Questi punti si formano in modo naturale quando montate a cavallo e stringete forte le gambe. Il corpo del cavallo si troverà allora schiacciato lungo un segmento. La coscia destra si attaccherà lungo quel segmento alla sua spalla destra, mentre la coscia sinistra alla spalla sinistra. Quanto al punto cuspidale, non cercatelo: ci siete semplicemente seduti sopra.
Ma tutto ciò è disegnato... rotondetto. Passiamo ad una "rappresentazione poliedrica" del punto cuspidale (così come un cubo o un tetraedro possono essere considerati delle rappresentazioni poliedriche di una semplice sfera). Il tratto in grassetto rappresenta la "curva di autointersezione", che finisce nel punto cuspidaleC.
Stampate queste tavole, è meglio. Nel seguito vi servirà saper riconoscere un punto cuspidale in "configurazioni differenti" e non confonderlo con un semplice vertice del poliedro. Costruite, se ve la sentite, questi diversi oggetti con del cartone, capirete meglio. Qui di seguito abbiamo un'operazione essenziale, detta "creazione-scioglimento di una coppia di punti cuspidali". Il primo disegno rappresenta una specie di cilindro che si autointerseca lungo il segmento disegnato in grassetto, la cui sezione ricorda la lettera greca gamma, rovesciata. Deformiamo quindi questa superficie "pizzicando" il tubo la cui sezione assomiglia ad una "lacrima rovesciata". Così facendo, facciamo degenerare questa "lacrima" in un puntoS. Dopodiché, questo punto si sdoppia dando luogo a due punti cuspidali. Questa è l'operazione di creazione di una coppia di punti cuspidali. L'operazione opposta, al contrario, distrugge due punti cuspidali. Subito sotto trovate la versione poliedrica di tale operazione.
Qui di seguito ecco un'altra rappresentazione poliedrica della trasformazione, che assomiglia a quello che vedrete formarsi nella superficie fra poco.
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27 settembre - 25 ottobre 2003
Come trasformare una superficie Cross Cap
in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta)
passando per la superficie romana di Steiner.
Italiano : Andrea Sambusetti, università di Roma
27 settembre - 25 ottobre 2003
pagina 1
Questo, come direbbe Kipling comporta "grande astuzia e forza magica".
Sono in pensione ma, mi sento di dirlo, faccio sempre un po' di ricerca "malgrado me", come altri, nel loro tempo libero, sferruzzano. Se avete pazienza e vi procurate dei cartoncini bristol da 200 gr. a quadretti, potrete ricostruire voi stessi tutti questi modelli. Il mio amico Christophe Tardy sta costruendo, a partire da essi, un'animazione che non dovrebbe venire male.
La superficie Cross Cap apparirà nei disegni che seguiranno, così come la superficie romana di Steiner. Ma potete scoprirle andando alla sezione Virtual Reality, per vedere la quale è necessario scaricare il programma Cosmoplayer sul vostro computer. Fatelo, è veramente carino. Tutto si gioca attorno ai "punti cuspidali". Questi punti si formano in modo naturale quando montate a cavallo e stringete forte le gambe. Il corpo del cavallo si troverà allora schiacciato lungo un segmento. La coscia destra si attaccherà lungo quel segmento alla sua spalla destra, mentre la coscia sinistra alla spalla sinistra. Quanto al punto cuspidale, non cercatelo: ci siete semplicemente seduti sopra.
Ma tutto ciò è disegnato... rotondetto. Passiamo ad una "rappresentazione poliedrica" del punto cuspidale (così come un cubo o un tetraedro possono essere considerati delle rappresentazioni poliedriche di una semplice sfera). Il tratto in grassetto rappresenta la "curva di autointersezione", che finisce nel punto cuspidaleC.
Stampate queste tavole, è meglio. Nel seguito vi servirà saper riconoscere un punto cuspidale in "configurazioni differenti" e non confonderlo con un semplice vertice del poliedro. Costruite, se ve la sentite, questi diversi oggetti con del cartone, capirete meglio. Qui di seguito abbiamo un'operazione essenziale, detta "creazione-scioglimento di una coppia di punti cuspidali". Il primo disegno rappresenta una specie di cilindro che si autointerseca lungo il segmento disegnato in grassetto, la cui sezione ricorda la lettera greca gamma, rovesciata. Deformiamo quindi questa superficie "pizzicando" il tubo la cui sezione assomiglia ad una "lacrima rovesciata". Così facendo, facciamo degenerare questa "lacrima" in un puntoS. Dopodiché, questo punto si sdoppia dando luogo a due punti cuspidali. Questa è l'operazione di creazione di una coppia di punti cuspidali. L'operazione opposta, al contrario, distrugge due punti cuspidali. Subito sotto trovate la versione poliedrica di tale operazione.
Qui di seguito ecco un'altra rappresentazione poliedrica della trasformazione, che assomiglia a quello che vedrete formarsi nella superficie fra poco.
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27 settembre - 25 ottobre 2003
Come trasformare una superficie Cross Cap
in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta)
passando per la superficie romana di Steiner.
Italiano : Andrea Sambusetti, università di Roma
27 settembre - 25 ottobre 2003
pagina 2
Ecco una "superficie Cross Cap" (così some l'avreste scoperta nelle immagini di realtà virtuale). Essa presenta due punti cuspidali che sono vertici di una linea di autointersezione. La si può costruire pizzicando un palloncino con delle mollette per bigodini. Ma potete anche costruirne delle rappresentazioni poliedriche. Quella in basso ci interesserà particolarmente.
Nella tavola 4 si trova la cosa più difficile da imparare. Mi sembra impossibile che qualcuno capisca bene questi oggetti semplicemente guardando le figure. Costruite dei modellini. In parole povere, si tira il punto cuspidaleC2 verso "l'interno della superficie" (il che, tra parentesi, non ha alcun senso poiché, l'avrete senz'altro notato subito, la superficie Cross Cap è unilatera: non ha una faccia esterna ed una interna). Insistendo, la superficie si "auto-attraversa", e l'insieme di autointersezione si completa, arrotondando un po' le cose, con una curva a forma di 8. Si è creato, per inciso, un punto triploT.
La superficie risulta più comprensibile nella sua forma poliedrica e, in basso, abbiamo ingrandito certi elementi per mostrare ciò che ci induce a trasformare questo oggetto in superficie romana di Steiner (si veda la simulazione di realtà virtuale) la cui forma poliedrica più semplice consiste nell'assemblare quattro cubi (qui se ne vedono solo tre).
Tavola 5 : versione poliedrica a sinistra, tonda a destra. La freccia passa per il punto che andiamo a "strozzare". Più in basso, l'inizio dell'operazione di strozzamento.
Tavola 6 : lo strozzamento viene effettuato e crea un punto singolareB. In effetti, dal momento che la strozziamo da entrambe le parti (tanto per risparmiare tempo), si formano due punti singolariS1 eS1, poi due punti cuspidali. A questo punto, senza cartoncino bristol, forbici e nastro adesivo, siete messi male.
Tavola 7 : qui abbiamo semplicemente fatto migrare i differenti punti cuspidali. Se il puntoC2 è "evidente", avrete sicuramente più difficoltà invece a identificare i puntiC3 eC4 come cuspidali. Eppure sono lì, alle estremità di una linea di autointersezione. Al di sopra del puntoC3 si trova semplicemente quello che ho chiamato un "posicono", un punto, cioè, in cui si concentra della curvatura positiva (un punto in cui si concentra della curvatura negativa lo chiamo "negacono"). Deformando un pochettino questo oggetto, si arriva alla forma poliedrica della superficie romana di Steiner (inventata da Steiner a Roma; si veda la sua illustrazione in realtà virtuale).
Dunque il gioco è fatto. Esistono vari tipi di superfici, secondo le regole che uno impone. Le superfici che non si autointersecano sono dette "embeddings" (della sfera, o del toro inR3). Quando invece si autointersecano ma il piano tangente varia in modo continuo senza degenerare, sono dette immersioni. Per esempio : la bottiglia di Klein, nella sua rappresentazione classica. InR3 non esiste una rappresentazione della bottiglia di Klein sotto forma di embedding: si autointerseca necessariamente. Le immersioni possiedono degli insiemi di autointersezione senza punti cuspidali. Questi insiemi sono curve continue, ma possono incrociarsi in punti doppi o tripli. Osservazione: la sfera si può realizzare sotto forma di immersione (che non è un embedding) facendola autointersecare. E' in effetti il modo attraverso il quale si riesce a rovesciarla (cf. il metodo di A.Phillips, 1967, che ha come passo centrale il rivestimento doppio di una superficie di Boy; e si veda anche B.Morin e J.P.Petit, 1979, in cui si prende come modello centrale il modello "a quattro orecchie" di Morin, di cui qui sotto vedete una rappresentazione poliedrica che ho inventato una decina di anni fa).
Piano di montaggio di questo oggetto con carta e forbici
Se si estendono le regole di gioco accettando che questi oggetti ammettano anche dei punti cuspidali, si ottengono delle *summersioni *(la Cross Cap, la superficie romana di Steiner). Non so se summersione sia il termine sia giusto, ma dato che non ho trovato alcun matematico che mi possa chiarire le idee al riguardo, ho trovato divertente inventarmene uno, provvisoriamente, almeno finché un geometra esperto si farà avanti. Così, la superficie Cross Cap e la superficie romana di Steiner sarebbero delle summersioni del "piano proiettivo".
Per dirvela tutta, dopo venticinque anni di attività e le mie delusioni in materia di Magneto-Idrodinamica, avevo iniziato questi lavori perché mi sembravano i più lontani possibile da qualsiasi applicazione militare. Ma, come mi fece notare il mio vecchio amico Mihn, il termine summersione potrebbe prestarsi a confusione e lasciar intendere alla Marina Militare che attraverso queste ricerche io proverei a nascondere dei progressi in materia di propulsione sottomarina.
La regola di "creazione-scioglimento" di coppie di punti cuspidali permette di passare da una summersione di un oggetto ad un'altra, ed è quello che abbiamo appena fatto, mostrando che la Cross Cap e la superficie romana di Steiner sono due summersioni dello stesso oggetto, noto come *piano proiettivo. *Non cercate di figurarvi un "piano proiettivo". Questo oggetto si può comprendere solo attraverso varie rappresentazioni differenti. Quanto al termine "proiettivo", non è che uno tra i mille inventati dai matematici per sviare coloro che vorrebbero penetrare nel loro circolo chiuso. Lo Zanichelli non vi sarà di alcuna utilità in matematica.
Ci resta quindi da vedere come passare alla superficie di Boy, che è un'immersione del piano proiettivo
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27 settembre - 25 ottobre 2003
Come trasformare una superficie Cross Cap
in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta)
passando per la superficie romana di Steiner.
Italiano : Andrea Sambusetti, università di Roma
27 settembre - 25 ottobre 2003
pagina 2
Ecco una "superficie Cross Cap" (così some l'avreste scoperta nelle immagini di realtà virtuale). Essa presenta due punti cuspidali che sono vertici di una linea di autointersezione. La si può costruire pizzicando un palloncino con delle mollette per bigodini. Ma potete anche costruirne delle rappresentazioni poliedriche. Quella in basso ci interesserà particolarmente.
Nella tavola 4 si trova la cosa più difficile da imparare. Mi sembra impossibile che qualcuno capisca bene questi oggetti semplicemente guardando le figure. Costruite dei modellini. In parole povere, si tira il punto cuspidaleC2 verso "l'interno della superficie" (il che, tra parentesi, non ha alcun senso poiché, l'avrete senz'altro notato subito, la superficie Cross Cap è unilatera: non ha una faccia esterna ed una interna). Insistendo, la superficie si "auto-attraversa", e l'insieme di autointersezione si completa, arrotondando un po' le cose, con una curva a forma di 8. Si è creato, per inciso, un punto triploT.
La superficie risulta più comprensibile nella sua forma poliedrica e, in basso, abbiamo ingrandito certi elementi per mostrare ciò che ci induce a trasformare questo oggetto in superficie romana di Steiner (si veda la simulazione di realtà virtuale) la cui forma poliedrica più semplice consiste nell'assemblare quattro cubi (qui se ne vedono solo tre).
Tavola 5 : versione poliedrica a sinistra, tonda a destra. La freccia passa per il punto che andiamo a "strozzare". Più in basso, l'inizio dell'operazione di strozzamento.
Tavola 6 : lo strozzamento viene effettuato e crea un punto singolareB. In effetti, dal momento che la strozziamo da entrambe le parti (tanto per risparmiare tempo), si formano due punti singolariS1 eS1, poi due punti cuspidali. A questo punto, senza cartoncino bristol, forbici e nastro adesivo, siete messi male.
Tavola 7 : qui abbiamo semplicemente fatto migrare i differenti punti cuspidali. Se il puntoC2 è "evidente", avrete sicuramente più difficoltà invece a identificare i puntiC3 eC4 come cuspidali. Eppure sono lì, alle estremità di una linea di autointersezione. Al di sopra del puntoC3 si trova semplicemente quello che ho chiamato un "posicono", un punto, cioè, in cui si concentra della curvatura positiva (un punto in cui si concentra della curvatura negativa lo chiamo "negacono"). Deformando un pochettino questo oggetto, si arriva alla forma poliedrica della superficie romana di Steiner (inventata da Steiner a Roma; si veda la sua illustrazione in realtà virtuale).
Dunque il gioco è fatto. Esistono vari tipi di superfici, secondo le regole che uno impone. Le superfici che non si autointersecano sono dette "embeddings" (della sfera, o del toro inR3). Quando invece si autointersecano ma il piano tangente varia in modo continuo senza degenerare, sono dette immersioni. Per esempio : la bottiglia di Klein, nella sua rappresentazione classica. InR3 non esiste una rappresentazione della bottiglia di Klein sotto forma di embedding: si autointerseca necessariamente. Le immersioni possiedono degli insiemi di autointersezione senza punti cuspidali. Questi insiemi sono curve continue, ma possono incrociarsi in punti doppi o tripli. Osservazione: la sfera si può realizzare sotto forma di immersione (che non è un embedding) facendola autointersecare. E' in effetti il modo attraverso il quale si riesce a rovesciarla (cf. il metodo di A.Phillips, 1967, che ha come passo centrale il rivestimento doppio di una superficie di Boy; e si veda anche B.Morin e J.P.Petit, 1979, in cui si prende come modello centrale il modello "a quattro orecchie" di Morin, di cui qui sotto vedete una rappresentazione poliedrica che ho inventato una decina di anni fa).
Piano di montaggio di questo oggetto con carta e forbici
Se si estendono le regole di gioco accettando che questi oggetti ammettano anche dei punti cuspidali, si ottengono delle *summersioni *(la Cross Cap, la superficie romana di Steiner). Non so se summersione sia il termine sia giusto, ma dato che non ho trovato alcun matematico che mi possa chiarire le idee al riguardo, ho trovato divertente inventarmene uno, provvisoriamente, almeno finché un geometra esperto si farà avanti. Così, la superficie Cross Cap e la superficie romana di Steiner sarebbero delle summersioni del "piano proiettivo".
Per dirvela tutta, dopo venticinque anni di attività e le mie delusioni in materia di Magneto-Idrodinamica, avevo iniziato questi lavori perché mi sembravano i più lontani possibile da qualsiasi applicazione militare. Ma, come mi fece notare il mio vecchio amico Mihn, il termine summersione potrebbe prestarsi a confusione e lasciar intendere alla Marina Militare che attraverso queste ricerche io proverei a nascondere dei progressi in materia di propulsione sottomarina.
La regola di "creazione-scioglimento" di coppie di punti cuspidali permette di passare da una summersione di un oggetto ad un'altra, ed è quello che abbiamo appena fatto, mostrando che la Cross Cap e la superficie romana di Steiner sono due summersioni dello stesso oggetto, noto come *piano proiettivo. *Non cercate di figurarvi un "piano proiettivo". Questo oggetto si può comprendere solo attraverso varie rappresentazioni differenti. Quanto al termine "proiettivo", non è che uno tra i mille inventati dai matematici per sviare coloro che vorrebbero penetrare nel loro circolo chiuso. Lo Zanichelli non vi sarà di alcuna utilità in matematica.
Ci resta quindi da vedere come passare alla superficie di Boy, che è un'immersione del piano proiettivo
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27 settembre - 25 ottobre 2003
Come trasformare una superficie Cross Cap
in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta)
passando per la superficie romana di Steiner.
Italiano : Andrea Sambusetti, università di Roma
27 settembre - 25 ottobre 2003
pagina 3
Tavola 8 : Si comincia col far migrare due punti cuspidali (C2 eC4) avvicinandoli un po' al punto triploT. Per far cio', abbiamo evidenziato con dei puntini una parte della superficie che "sfonderemo dall'interno", con un "punteruolo piramidale" (suvvia, costruite dei modellini, altrimenti siete pronti per il manicomio). Sviluppandosi, le punte di queste piramidi non sono altro che i punti cuspidaliC2 eC4 che migrano e si riuniscono.
Tavola 9 : i punti cuspidali si uniscono inSe si "cancellano". La curva di autointersezione perde pertanto due punti cuspidali e guadagna... un anello (in forma poliedrica: una linea poligonale chiusa).
Tavola 10 : si forma questo "tubo a sezione quadrata".
Tavola 11 : giriamo questo oggetto per vederlo da un altro punto di vista, e facciamo migrare due altri punti cuspidali, dopodiché sfondiamo "dall'interno" (il che è assurdo, in quanto abbiamo detto che la superficie romana di Steiner è unilatera) come prima le parti evidenziate con dei puntini. Continuiamo con questa operazione di migrazione-confluenza di questa seconda coppia di punti cuspidali.
In quest'ultima immagine i punti si stanno per toccare. Tavola 12 : il passaggio tra le due piramidine si è aperto. Ora non restano che due soli punti cuspidali.
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Come trasformare una superficie Cross Cap
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passando per la superficie romana di Steiner.
Italiano : Andrea Sambusetti, università di Roma
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pagina 3
Tavola 8 : Si comincia col far migrare due punti cuspidali (C2 eC4) avvicinandoli un po' al punto triploT. Per far cio', abbiamo evidenziato con dei puntini una parte della superficie che "sfonderemo dall'interno", con un "punteruolo piramidale" (suvvia, costruite dei modellini, altrimenti siete pronti per il manicomio). Sviluppandosi, le punte di queste piramidi non sono altro che i punti cuspidaliC2 eC4 che migrano e si riuniscono.
Tavola 9 : i punti cuspidali si uniscono inSe si "cancellano". La curva di autointersezione perde pertanto due punti cuspidali e guadagna... un anello (in forma poliedrica: una linea poligonale chiusa).
Tavola 10 : si forma questo "tubo a sezione quadrata".
Tavola 11 : giriamo questo oggetto per vederlo da un altro punto di vista, e facciamo migrare due altri punti cuspidali, dopodiché sfondiamo "dall'interno" (il che è assurdo, in quanto abbiamo detto che la superficie romana di Steiner è unilatera) come prima le parti evidenziate con dei puntini. Continuiamo con questa operazione di migrazione-confluenza di questa seconda coppia di punti cuspidali.
In quest'ultima immagine i punti si stanno per toccare. Tavola 12 : il passaggio tra le due piramidine si è aperto. Ora non restano che due soli punti cuspidali.
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27 settembre - 25 ottobre 2003
Come trasformare una superficie Cross Cap
in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta)
passando per la superficie romana di Steiner.
Italiano : Andrea Sambusetti, università di Roma
27 settembre - 25 ottobre 2003
pagina 4
Presentiamo il modello ancora da un altro punto di vista :
Tavola 14 : ripetiamo sempre la stessa operazione creando il terzo "orecchio" della curva di autointersezione. Nel modello poliedrico, quest'ultima ha la forma di tre quadrati con un vertice in comune : il punto triploT.
Tavola 15 : ruotando l'oggetto ritroverete la versione poliedrica della superficie di Boy che avevo presentato nel Topologicon (dove potete trovare anche un piano di montaggio che permette di costruirla).
Ultima tavola : ho cercato di illustrare la superficie di Steiner mentre si contorce e si trasforma in superficie di Boy.
Vediamo che, disegnata in "rotondetto", ci vuole un bel po' di pratica per capirla. Il nostro occhio è molto a disagio quando si tratta di comprendere un oggetto per il quale, su una stessa linea visuale, si sovrappongono più di due falde. Da qui l'interesse del modello poliedrico, che mette alla portata di chiunque, se solo se si tenta di costruire da soli i modellini, delle trasformazioni considerate complicate in geometria. Notiamo per inciso che, a seconda delle coppie di punti cuspidali scelte, si ottiene un superficie di Boy "destra" o "sinistra" (definizioni completamente arbitrarie). Il piano proiettivo si immerge nello spazio tramite due rappresentazioni "antiautomorfe" speculari. Vediamo quindi anche che si può passare da una superficie di Boy destra ad una superficie di Boy sinistra attraverso un modello "centrale" che è la superficie romana di Steiner.
Sarebbe senza dubbio carino se questi disegni fossero pubblicati in riviste come Pour la Science o La Recherche. Ma da vent'anni mi è “proibita” la pubblicazione su queste riviste a causa di deviazionismo ufologico. Grazie, signori Hervé This e Philippe Boulanger. Ho perso il conto degli articoli di questo genere che ho proposto a queste riviste e che mi sono state gentilmente rifiutate. Si finisce coll'abituarsi al proprio statuto di scomunicato.
A titolo aneddotico, esiste un "premio d'Alembert" destinato a ricompensare gli autori di libri di divulgazione matematica. La storia mi è stata raccontata da un membro della commissione incaricata di decidere a chi doveva essere attribuito il premio (ci sono comunque questioni di soldi dietro). Dialogo :
-
Insomma, perché non diamo il premio a Petit? Ha scritto delle opere notevoli come il "Géométricon", il "Trou Noir" ed il "Topologicon".
-
Sì, ma non ha fatto solo quello.
-
A cosa alludete?
-
Ha anche scritto il "Mur du Silence".
-
Ah, beh, allora....
Ebbene sì, il "Mur du Silence", pubblicato nell'1983, è un album dedicato alla MHD. E, come ognuno di noi sa, questa scienza corrosiva ha come pregio, o difetto, di consentire ai dischi volanti di muoversi a velocità supersonica senza fare Bang.
« Cachez cette science, que je ne saurais voir »
Ho nelle mie scatole una versione magnifica del "rovesciamento del cubo", che non è la versione poliedrica della variante di Morin. Tutta farina del mio sacco. Uno di questi giorni....
22 ottobre 2003: Non ci si affanna troppo su queste pagine, se devo credere al contatore. Lunedì 13 ottobre 2003 ho fatto un seminario al CMI (Centro di Matematica ed Informatica di Château-Gombert-Marseille) su invito di Trotman. In quell'occasione ho potuto tirar fuori una collezione di una trentina di modelli in cartone, di cui un giorno potrete gustare la primizia, poiché sono stati fotografati da Christophe Tardy.
Quando si dà un seminario, si crea una certa atmosfera. Nella foto qui sotto, ecco un geometra che esprime la sua perplessità.
Sullo sfondo, una parte dei modellini esposti con l'aiuto del mio collaboratore di lunga data, Boris Kolev, membro del dipartimento, anche lui geometra. Ad un certo momento ho posto la domanda :
- Quanti di voi hanno già visto una superficie romana di Steiner? Alzate la mano.
Nessuno l'aveva mai vista. Mi è sembrato quindi utile presentare quest'oggetto, con un programma di realtà virtuale, sul portatile che avevo con me, programma realizzato con l'aiuto di Christophe Tardy, ingegnere, e di Frédéric Descamp, dell'Istituto Laue Langevin di Grenoble (ILL). Palesemente questa presentazione sconcerta il pubblico, poco abituato a vedere le superfici matematiche fare giravolte a piacere.
Due tavole di cartone, visibili in primo piano, hanno permesso di presentare tutta la successione di modellini nel loro ordine logico. I modelli in verde e giallo illustrano, in forma poliedrica, lo strumento essenziale di creazione-scioglimento di una coppia di punti cuspidali. L'oggetto bianco più distante è una versione poliedrica della superficie Cross Cap, che si trasforma prima in versione poliedrica della superficie romana di Steiner, quindi, un metro più in là, a piacere, in superficie di Boy "destra" o "sinistra".
L'analisi dei modellini fa emergere varie osservazioni nel pubblico. Uno dei geometri domanda :
*- Se è vero che, seguendo i modellini in quest'ordine, si può passare dalla superficie Cross Cap a quella di Boy, sembra che, seguendo il procedimento opposto, si possa trasformare una superficie di Boy in una Cross Cap. *
Rispondo affermativamente. Imbaldanzito, il mio interlocutore aggiunge :
*- Allora, se arrivati allo stadio superficie romana di Steiner ci si ferma, dovrebbe essere possibile ritornare ad una superficie di Boy, ma riflessa rispetto a quella iniziale. *
Acconsento una seconda volta. Ma, purtroppo, nessuno si proporrà per dare qualche chiarimento su questo strano mondo in cui si permette alle immersioni delle superfici chiuse di avere dei punti cuspidali, creati o sciolti a coppie, il cui insieme costituisce una specie di estensione del mondo delle immersioni. Il termine "summersione" mi sembra conveniente. Se un lettore è capace di dare qualche chiarimento, è il benvenuto.
Curvatura concentrata in un punto cuspidale.
La calcoleremo sommando gli angoli al vertice e paragonando questa somma al risultato che si ottiene nel caso del piano euclideo : 2 p .
In alto a sinistra potete vedere una delle molte possibili rapresentazioni poliedriche di un punto cuspidale. "Smontando" la superficie si giunge ad una somma di angoli che supera il valore 2p di 2a . Se ne deduce che la curvatura angolare concentrata intorno a questo punto C è - 2a. Se l'angolo a è uguale a p/2 allora la curvatura negativa vale -p (figura in basso a sinistra). In effetti, a curvatura di un punto cuspidale può assumere infiniti valori. In basso a destra accentuiamo la somma angolare e la curvatura diventa allora < -p (abbiamo aumentato la curvatura negativa).
Operando in modo inverso, possiamo giungere ad una situazione abbastanza sorprendente: possiamo fare in modo che la curvatura (angolare) concentrata in C sia ... nulla :
Partiamo ora da una rappresentazione poliedrica della superficie Cross Cap in cui figurano due punti cuspidali ognuno dei quali di curvatura uguale a -p:
In questa figura ci sono otto "posiconi" corrispondenti di valore + p/2. Aggiungiamo quattro altri "posiconi" di curvatura + p/4 e quattro "negaconi" di curvatura - p/4.
Più i due punti cuspidali di curvatura - p .
Totale : 2 p
Dividendo il valore di questa "curvatura totale" per 2p ritroviamo il valore della caratteristica di Eulero-Poincaré di qualsiasi rappresentazione del piano proiettivo (o della superficie di Boy).
Nel corso della conferenza ho evocato l'arte e il modo di permutare i due punti cuspidali di una superficie Cross Cap utilizzando il rovesciamento della sfera. Non so più se ho messo questa cosa da qualche parte sul mio sito. E' un tale garbuglio. Bisognerà che cerchi, sennò lo aggiungerò. E' divertente. Fatto sta che questa operazione non piacque affatto ad una delle persone presenti al seminario:
- Non vedo perché Petit faccia uso di tanto armamentario per dimostrare la simmetria che unisce i due punti cuspidali di una Cross Cap. Si può fare molto più semplicemente.
E fece alla lavagna il disegno di una sfera schiacciata tra due righelli che si toccano e che dà effettivamente un insieme di autointersezione sotto forma di un segmento ai cui estremi si trovano due punti cuspidali, come la superficie Cross Cap. Sfortunatamente, e il signore i questione se ne accorse, questa non è la superficie Cross Cap.
- Diavolo, ma che cos'è allora? Domandò qualcuno.
E' semplicemente l'immersione di una sfera, con due punti cuspidali. Se li si fa confluire verso un unico punto si ottiene una linea di autointersezione che diventa un cerchio. E si ottiene (in basso a destra) un'immersione della sfera che ci resta solo da trasformare nel suo embedding standard. Possiamo anche dare una rappresentazione poliedrica di questa superficie :
Si tratta di una superficie bilatera la cui curvatura totale è 2p.
Insomma, ci di può divertire parecchio con queste "summersioni". Consideriamo un'immersione di un toro ottenuta facendo girare il simbolo di "infinito" attorno ad un asse :
La tecnica del fare confluire dei punti cuspidali in un unico punto ci permette di arrivare rapidamente all'embedding standard del toro, come spiegato sopra nei disegni in successione.
Ma le cose non risultano sempre così facili ed evidenti. Prendiamo per esempio una sfera schiacciata tra due segmenti che, questa volta, sono più corti del diametro. Otteniamo ancora due punti cuspidali.
Poiché questa superficie contiene un nastro di Moebius, è unilatera. Abbiamo messo accanto una sua rappresentazione poliedrica che consente di calcolarne la curvatura totale. Troviamo allora zero. Se non mi sbaglio, dovrebbe allora essere una bottiglia di Klein. Di essa generalmente si conosce solo l'immersione classica, in cui la linea di autointersezione è un semplice cerchio. Ma ce ne sono altre, come questa qui. Confesso che non ho ancora trovato il modo di trasformarla in un'usuale bottiglia di Klein. D'altra parte, non so neppure se questa "immersione" e quella classica stiano nella stessa classe di omotopia (per la sfera, per esempio, ce n'e' una sola).A priori, non è detto: il toro infatti può essere immerso in quattro modi differenti nello spazio tridimensionale, che non possono essere trasformati l'uno nell'altro tramite un'omotopia regolare. In attesa di scoprire se sia possibile o meno in questo caso, mi sono divertito a trasformarla creando due punti cuspidali in più, ottenendo così due Cross Cap collegate da un tubo. Scomponendole, si ritrova che la caratteristica di Eulero-Poincaré fa zero.
Questa strana superficie dovrebbe trasformarsi in una delle 4 possibili immersioni della bottiglia di Klein, ma quale? In ogni caso, eccone qui una ottenuta facendo ruotare un 8 attorno ad un asse, mentre lui stesso esegue nel frattempo un mezzo giro su se stesso :
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27 settembre - 25 ottobre 2003
Come trasformare una superficie Cross Cap
in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta)
passando per la superficie romana di Steiner.
Italiano : Andrea Sambusetti, università di Roma
27 settembre - 25 ottobre 2003
pagina 4
Presentiamo il modello ancora da un altro punto di vista :
Tavola 14 : ripetiamo sempre la stessa operazione creando il terzo "orecchio" della curva di autointersezione. Nel modello poliedrico, quest'ultima ha la forma di tre quadrati con un vertice in comune : il punto triploT.
Tavola 15 : ruotando l'oggetto ritroverete la versione poliedrica della superficie di Boy che avevo presentato nel Topologicon (dove potete trovare anche un piano di montaggio che permette di costruirla).
Ultima tavola : ho cercato di illustrare la superficie di Steiner mentre si contorce e si trasforma in superficie di Boy.
Vediamo che, disegnata in "rotondetto", ci vuole un bel po' di pratica per capirla. Il nostro occhio è molto a disagio quando si tratta di comprendere un oggetto per il quale, su una stessa linea visuale, si sovrappongono più di due falde. Da qui l'interesse del modello poliedrico, che mette alla portata di chiunque, se solo se si tenta di costruire da soli i modellini, delle trasformazioni considerate complicate in geometria. Notiamo per inciso che, a seconda delle coppie di punti cuspidali scelte, si ottiene un superficie di Boy "destra" o "sinistra" (definizioni completamente arbitrarie). Il piano proiettivo si immerge nello spazio tramite due rappresentazioni "antiautomorfe" speculari. Vediamo quindi anche che si può passare da una superficie di Boy destra ad una superficie di Boy sinistra attraverso un modello "centrale" che è la superficie romana di Steiner.
Sarebbe senza dubbio carino se questi disegni fossero pubblicati in riviste come Pour la Science o La Recherche. Ma da vent'anni mi è “proibita” la pubblicazione su queste riviste a causa di deviazionismo ufologico. Grazie, signori Hervé This e Philippe Boulanger. Ho perso il conto degli articoli di questo genere che ho proposto a queste riviste e che mi sono state gentilmente rifiutate. Si finisce coll'abituarsi al proprio statuto di scomunicato.
A titolo aneddotico, esiste un "premio d'Alembert" destinato a ricompensare gli autori di libri di divulgazione matematica. La storia mi è stata raccontata da un membro della commissione incaricata di decidere a chi doveva essere attribuito il premio (ci sono comunque questioni di soldi dietro). Dialogo :
-
Insomma, perché non diamo il premio a Petit? Ha scritto delle opere notevoli come il "Géométricon", il "Trou Noir" ed il "Topologicon".
-
Sì, ma non ha fatto solo quello.
-
A cosa alludete?
-
Ha anche scritto il "Mur du Silence".
-
Ah, beh, allora....
Ebbene sì, il "Mur du Silence", pubblicato nell'1983, è un album dedicato alla MHD. E, come ognuno di noi sa, questa scienza corrosiva ha come pregio, o difetto, di consentire ai dischi volanti di muoversi a velocità supersonica senza fare Bang.
« Cachez cette science, que je ne saurais voir »
Ho nelle mie scatole una versione magnifica del "rovesciamento del cubo", che non è la versione poliedrica della variante di Morin. Tutta farina del mio sacco. Uno di questi giorni....
22 ottobre 2003: Non ci si affanna troppo su queste pagine, se devo credere al contatore. Lunedì 13 ottobre 2003 ho fatto un seminario al CMI (Centro di Matematica ed Informatica di Château-Gombert-Marseille) su invito di Trotman. In quell'occasione ho potuto tirar fuori una collezione di una trentina di modelli in cartone, di cui un giorno potrete gustare la primizia, poiché sono stati fotografati da Christophe Tardy.
Quando si dà un seminario, si crea una certa atmosfera. Nella foto qui sotto, ecco un geometra che esprime la sua perplessità.
Sullo sfondo, una parte dei modellini esposti con l'aiuto del mio collaboratore di lunga data, Boris Kolev, membro del dipartimento, anche lui geometra. Ad un certo momento ho posto la domanda :
- Quanti di voi hanno già visto una superficie romana di Steiner? Alzate la mano.
Nessuno l'aveva mai vista. Mi è sembrato quindi utile presentare quest'oggetto, con un programma di realtà virtuale, sul portatile che avevo con me, programma realizzato con l'aiuto di Christophe Tardy, ingegnere, e di Frédéric Descamp, dell'Istituto Laue Langevin di Grenoble (ILL). Palesemente questa presentazione sconcerta il pubblico, poco abituato a vedere le superfici matematiche fare giravolte a piacere.
Due tavole di cartone, visibili in primo piano, hanno permesso di presentare tutta la successione di modellini nel loro ordine logico. I modelli in verde e giallo illustrano, in forma poliedrica, lo strumento essenziale di creazione-scioglimento di una coppia di punti cuspidali. L'oggetto bianco più distante è una versione poliedrica della superficie Cross Cap, che si trasforma prima in versione poliedrica della superficie romana di Steiner, quindi, un metro più in là, a piacere, in superficie di Boy "destra" o "sinistra".
L'analisi dei modellini fa emergere varie osservazioni nel pubblico. Uno dei geometri domanda :
*- Se è vero che, seguendo i modellini in quest'ordine, si può passare dalla superficie Cross Cap a quella di Boy, sembra che, seguendo il procedimento opposto, si possa trasformare una superficie di Boy in una Cross Cap. *
Rispondo affermativamente. Imbaldanzito, il mio interlocutore aggiunge :
*- Allora, se arrivati allo stadio superficie romana di Steiner ci si ferma, dovrebbe essere possibile ritornare ad una superficie di Boy, ma riflessa rispetto a quella iniziale. *
Acconsento una seconda volta. Ma, purtroppo, nessuno si proporrà per dare qualche chiarimento su questo strano mondo in cui si permette alle immersioni delle superfici chiuse di avere dei punti cuspidali, creati o sciolti a coppie, il cui insieme costituisce una specie di estensione del mondo delle immersioni. Il termine "summersione" mi sembra conveniente. Se un lettore è capace di dare qualche chiarimento, è il benvenuto.
Curvatura concentrata in un punto cuspidale.
La calcoleremo sommando gli angoli al vertice e paragonando questa somma al risultato che si ottiene nel caso del piano euclideo : 2 p .
In alto a sinistra potete vedere una delle molte possibili rapresentazioni poliedriche di un punto cuspidale. "Smontando" la superficie si giunge ad una somma di angoli che supera il valore 2p di 2a . Se ne deduce che la curvatura angolare concentrata intorno a questo punto C è - 2a. Se l'angolo a è uguale a p/2 allora la curvatura negativa vale -p (figura in basso a sinistra). In effetti, a curvatura di un punto cuspidale può assumere infiniti valori. In basso a destra accentuiamo la somma angolare e la curvatura diventa allora < -p (abbiamo aumentato la curvatura negativa).
Operando in modo inverso, possiamo giungere ad una situazione abbastanza sorprendente: possiamo fare in modo che la curvatura (angolare) concentrata in C sia ... nulla :
Partiamo ora da una rappresentazione poliedrica della superficie Cross Cap in cui figurano due punti cuspidali ognuno dei quali di curvatura uguale a -p:
In questa figura ci sono otto "posiconi" corrispondenti di valore + p/2. Aggiungiamo quattro altri "posiconi" di curvatura + p/4 e quattro "negaconi" di curvatura - p/4.
Più i due punti cuspidali di curvatura - p .
Totale : 2 p
Dividendo il valore di questa "curvatura totale" per 2p ritroviamo il valore della caratteristica di Eulero-Poincaré di qualsiasi rappresentazione del piano proiettivo (o della superficie di Boy).
Nel corso della conferenza ho evocato l'arte e il modo di permutare i due punti cuspidali di una superficie Cross Cap utilizzando il rovesciamento della sfera. Non so più se ho messo questa cosa da qualche parte sul mio sito. E' un tale garbuglio. Bisognerà che cerchi, sennò lo aggiungerò. E' divertente. Fatto sta che questa operazione non piacque affatto ad una delle persone presenti al seminario:
- Non vedo perché Petit faccia uso di tanto armamentario per dimostrare la simmetria che unisce i due punti cuspidali di una Cross Cap. Si può fare molto più semplicemente.
E fece alla lavagna il disegno di una sfera schiacciata tra due righelli che si toccano e che dà effettivamente un insieme di autointersezione sotto forma di un segmento ai cui estremi si trovano due punti cuspidali, come la superficie Cross Cap. Sfortunatamente, e il signore i questione se ne accorse, questa non è la superficie Cross Cap.
- Diavolo, ma che cos'è allora? Domandò qualcuno.
E' semplicemente l'immersione di una sfera, con due punti cuspidali. Se li si fa confluire verso un unico punto si ottiene una linea di autointersezione che diventa un cerchio. E si ottiene (in basso a destra) un'immersione della sfera che ci resta solo da trasformare nel suo embedding standard. Possiamo anche dare una rappresentazione poliedrica di questa superficie :
Si tratta di una superficie bilatera la cui curvatura totale è 2p.
Insomma, ci di può divertire parecchio con queste "summersioni". Consideriamo un'immersione di un toro ottenuta facendo girare il simbolo di "infinito" attorno ad un asse :
La tecnica del fare confluire dei punti cuspidali in un unico punto ci permette di arrivare rapidamente all'embedding standard del toro, come spiegato sopra nei disegni in successione.
Ma le cose non risultano sempre così facili ed evidenti. Prendiamo per esempio una sfera schiacciata tra due segmenti che, questa volta, sono più corti del diametro. Otteniamo ancora due punti cuspidali.
Poiché questa superficie contiene un nastro di Moebius, è unilatera. Abbiamo messo accanto una sua rappresentazione poliedrica che consente di calcolarne la curvatura totale. Troviamo allora zero. Se non mi sbaglio, dovrebbe allora essere una bottiglia di Klein. Di essa generalmente si conosce solo l'immersione classica, in cui la linea di autointersezione è un semplice cerchio. Ma ce ne sono altre, come questa qui. Confesso che non ho ancora trovato il modo di trasformarla in un'usuale bottiglia di Klein. D'altra parte, non so neppure se questa "immersione" e quella classica stiano nella stessa classe di omotopia (per la sfera, per esempio, ce n'e' una sola).A priori, non è detto: il toro infatti può essere immerso in quattro modi differenti nello spazio tridimensionale, che non possono essere trasformati l'uno nell'altro tramite un'omotopia regolare. In attesa di scoprire se sia possibile o meno in questo caso, mi sono divertito a trasformarla creando due punti cuspidali in più, ottenendo così due Cross Cap collegate da un tubo. Scomponendole, si ritrova che la caratteristica di Eulero-Poincaré fa zero.
Questa strana superficie dovrebbe trasformarsi in una delle 4 possibili immersioni della bottiglia di Klein, ma quale? In ogni caso, eccone qui una ottenuta facendo ruotare un 8 attorno ad un asse, mentre lui stesso esegue nel frattempo un mezzo giro su se stesso :
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