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Composantes d'un groupe.
Nous avons considéré deux groupes : SO(2) et O(2). Le second contient le premier.
Le premier contient l'élément neutre. Nous pouvons représenter les éléments du groupe comme suit :
(73) .
Les éléments de la première composante forment un groupe (un sous-groupe).
Les éléments de la deuxième composante ne forment pas un groupe, pour de nombreuses raisons :
- Elle ne contient pas l'élément neutre 1.
- Nous pouvons choisir deux matrices dans cette deuxième composante dont le produit n'appartient pas à cette deuxième composante. Exemple :
(74)
La composante du groupe qui contient l'élément neutre 1 est appelée
composante neutre du groupe.
Dans la suite, nous considérerons des groupes ayant 2, 4, 8 composantes.
Le groupe d'Euclide.
Nous pouvons maintenant intégrer ce groupe étendu, enrichi, à la translation en 2D, et nous obtenons :
(75)
et l'action correspondante de ce groupe d'Euclide :
(76)
Supposons que nous utilisions notre groupe pour manipuler, régir, étudier des lettres alphabétiques.
Restreignons l'ensemble aux lettres : A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Nous avons plusieurs tailles :
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Nous savons qu'il est impossible de trouver un élément du groupe, ni une action ultérieure du groupe, qui puisse transformer :
G en G
car leurs tailles sont différentes. Nous décidons de nommer leurs tailles masses, de sorte que G et G soient similaires à des particules, objets, atomes, possédant des masses différentes. À présent, cela dépend du groupe agissant sur cet ensemble d'objets. Si j'utilise :
(78)
supposons que cet "univers" soit rempli par :
(79)
avec un certain spectre de tailles (masses) et d'angles. Si j'applique des actions de groupe, quelles qu'elles soient, je ne trouverai jamais d'objets appartenant à l'alphabet russe :
(80)
Cela deviendra possible si j'utilise le groupe enrichi, le groupe d'Euclide :
(80b)
Alors mon "univers" deviendra :
(81)
Le groupe a enrichi le "zoo" des lettres. Mais dans mon zoo, un élément est invariant par symétrie, c'est-à-dire :
(82)
(83)
(84)
(85)
... En général, toute symétrie par rapport à une droite du plan, qui est un "miroir 2D", ne change pas la "nature" de ce caractère
(86)
J'appellerai ce caractère un "photon" et assimilerai la transformation
(87)
à la dualité matière-antimatière. Alors j'obtiens un zoo global :
(88)
Nous pourrions relier des lettres de même forme (nature) mais de tailles différentes (représentant leurs énergies), en utilisant le groupe de Descartes :
(89)
... Mais nous ne construirons pas un modèle analogique complet des particules élémentaires basé sur des lettres alphabétiques. En tout cas, vous commencez à voir où nous tendons. Les groupes ont des aspects très simples, mais des propriétés cachées. Ces propriétés dépendent de leurs sous-groupes, qui engendrent les espèces.
... Le groupe d'Euclide va de pair avec un monde d'Euclide, avec un zoo d'Euclide. Les animaux de la géométrie euclidienne s'appellent sphère, cylindre, prismes, plan, droite, triangles, etc. Ils sont invariants sous l'action de certains sous-groupes. Souriau appelle le sous-groupe lié à un objet appartenant à une espèce, la régularité de cet objet.
Par exemple, les sphères centrées en un point donné O sont invariantes sous l'action du sous-groupe des rotations autour de ce point.
-
Nous pouvons considérer que le fait d'être invariant est une propriété de l'espèce appelée "sphères centrées en un point O".
-
Inversement, nous pouvons considérer que cette propriété définit l'espèce.
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
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Components of a group.
We have considered two groups : SO(2) and O(2). The second contains the first.
The first contains the neutral element. We can figure the elements of the group as follows :
(73) .
The elements of the first component form a group (a sub-group).
The elements of the second group do not form a group, for many reasons :
- It does not contain the neutral elements **1.
**- we can pick two matrices in this second component, whose product does not belong to this second component. Example :
(74)
The component of the group which contains the neutral element 1 is called the
neutral component of the group.
In the following we will consider groups with 2, 4, 8 components.
The Euclid's group.
We can now integrate this extended, enriched group, to 2d- translation, and we get :
(75)
and the corresponding action of this Euclid's group :
(76)
Suppose we use our group to manipulate, to rule, to study alphabetic letters.
Limit the set to : A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We have several sizes :
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We know that we cannot find any element of the group, and a subsequent group's action, which can transform :
G into G
for their sizes are different. We decide to call their sizes *masses *so that G and G are similar to particules, objects, atoms, who own different masses. Now, depends on the group which acts on this set of objects. If I use :
(78)
assume this "world" is filled by :
(79)
with a certain spectrum of sizes (masses) and angles. If I operate group actions, whetever they are, I will never find objects which belong to the russian alphabet :
(80)
It will be possible if I take the enriched group, the Euclid's group :
(80b)
Then my "world" will become :
(81)
The group has enriched the letters' "zoo". But in my zoo, one is invariant by symmetry, i.e :
(82)
(83)
(84)
(85)
...In general, any symetry with respect to any straight line of the plane, which is a "2d mirror", does not change the "nature" of this character
(86)
I will call this character a "photon" and will assimilate the transform
(87)
to the matter anti-matter duality. Then I get a global zoo :
(88)
We could link letters of same shape (nature) but different sizes (representing their energies), using Descartes'group:
(89)
...But we are not going to build a complete analogical model of elementary particles, based on alphabetical characters. Anyway, you begin to see were we tend to go. Group have very simple aspects, but hidden properties. These properties depend on their sub-groups, which fathers species.
...Euclid's group goes with an Euclid's world, with Euclid's zoo. The animals of euclidean geometry are called sphere, cylinder, prisms, plane, straight line, triangles, en so on. The are invariant under some sub-group action. Souriau calls the sub-group linked to a an object, which belongs to a species, the **regularity **of this object.
For an example spheres centered on a given point O are invariant through the sub-group of rotations around this point.
-
We can consider that the fact to be invariant is a property of the species called "spheres centered on a point O".
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Conversely we can consider that this property *defines *the species.